Question

如图，已知二次函数L₁：y=x²﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．

（1）写出二次函数L₁的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（2）研究二次函数L₂：y=kx²﹣4kx+3k（k≠0）．

①写出二次函数L₂与二次函数L₁有关图象的两条相同的性质；

②若直线y=8k与抛物线L₂交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题。

专题：综合题。

分析：（1）抛物线y=ax2+bx+c中：a的值决定了抛物线的开口方向，a＞0时，抛物线的开口向上；a＜0时，抛物线的开口向下．

抛物线的对称轴方程：x=﹣；顶点坐标：（﹣，）．

（2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析．

②联系直线和抛物线L₂的解析式，先求出点E、F的坐标，进而可表示出EF的长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化．

解答：解：（1）抛物线y=x²﹣4x+3中，a=1、b=﹣4、c=3；

∴﹣=﹣=2，==﹣1；

∴二次函数L₁的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）．

（2）①二次函数L₂与L₁有关图象的两条相同的性质：

对称轴为x=2或定点的横坐标为2，

都经过A（1，0），B（3，0）两点；

②线段EF的长度不会发生变化．

∵直线y=8k与抛物线L₂交于E、F两点，

∴kx²﹣4kx+3k=8k，

∵k≠0，∴x²﹣4x+3=8，

解得：x₁=﹣1，x₂=5，∴EF=x₂﹣x₁=6，

∴线段EF的长度不会发生变化．

点评：该题主要考查的是函数的基础知识，有：二次函数的性质、函数图象交点坐标的解法等，难度不大，但需要熟练掌握．