题目内容
梯形ABCE中,AD∥BC,DC⊥BC,CE⊥AB于点E,点F在边CD上,且BE•CE=BC•CF.
(1)求证:AE•CF=BE•DF;
(2)若点E为AB中点,求证:AD•BC=2EC2-BC2.
(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)求出∠B=∠DCE,证△BCE∽△CEF,推出∠BCE=∠CEF,推出EF∥BC,根据平行线分线段成比例定理得出即可.
(2)求出EF=(AD+BC),根据相似三角形的性质得出CE2=BC•EF,代入求出即可.
试题解析:(1)∵CE⊥AB,
∴∠B+∠BCE=90°,
∵DC⊥BC,
∴∠DCE+∠BCE=90°,
∴∠B=∠DCE,
∵BE×CE=BC×CF,
∴,
∴△BCE∽△CEF,
∴∠BCE=∠CEF,
∴EF∥BC,
∴,
即AE•CF=BE•DF.
(2)∵在梯形ABCD中,EF∥BC∥AD,E为AB中点,
∴F为DC的中点,
∴EF=(AD+BC),
∵△BCE∽△CEF,
∴,即CE2=BC•EF,
∴CE2=(AD+BC)•BC,
整理得:AD•BC=2EC2-BC2.
考点:相似三角形的判定与性质.
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