Question

【题目】如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．
（1）求证：CD是半圆O的切线；
（2）若DH=6﹣3 ，求EF和半径OA的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：

连接OB，

∵OA=OB=OC，

∵四边形OABC是平行四边形，

∴AB=OC，

∴△AOB是等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∵∠FAD=15°，

∴∠BOF=30°，

∴∠AOF=∠BOF=30°，

∴OF⊥AB，

∵CD∥OF，

∴CD⊥AD，

∵AD∥OC，

∴OC⊥CD，

（2）

解：∵BC∥OA，

∴∠DBC=∠EAO=60°，

∴BD= BC= AB，

∴AE= AD，

∵EF∥DH，

∴△AEF∽△ADH，

∴ ，

∵DH=6﹣3 ，

∴EF=2﹣ ，

∵OF=OA，

∴OE=OA﹣（2﹣ ），

∵∠AOE=30°，

∴ ，

解得：OA=2

【解析】（1）连接OB，根据已知条件得到△AOB是等边三角形，得到∠AOB=60°，根据圆周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°，根据平行线的性质得到OC⊥CD，由切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠DBC=∠EAO=60°，解直角三角形得到BD= BC= AB，推出AE= AD，根据相似三角形的性质得到 ，求得EF=2﹣ ，根据直角三角形的性质即可得到结论．本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接OB构造等边三角形是解题的关键．
【考点精析】掌握平行四边形的性质和切线的判定定理是解答本题的根本，需要知道平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．