题目内容
已知函数f（x）=ax2+4x+b，其中a＜0，a、b是实数，设关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2，f（x）=x的两实根为α、β．（1）若|α-β|=1，求a、b满足的关系式；
（2）若a、b均为负整数，且|α-β|=1，求f（x）解析式；
（3）试比较（x1+1）（x2+1）与7的大小．
分析：（1）根据f（x）=x的两实根为α、β，可列出方程用a，b表示两根α，β，根据|α-β|=1，可求出a、b满足的关系式．
（2）根据（1）求出的结果和a、b均为负整数，且|α-β|=1，可求出a，b，从而求出f（x）解析式．
（3）因为关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2，用a和b表示出（x1+1）（x2+1），讨论a，b的关系可比较（x1+1）（x2+1）与7的大小的结论．
（2）根据（1）求出的结果和a、b均为负整数，且|α-β|=1，可求出a，b，从而求出f（x）解析式．
（3）因为关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2，用a和b表示出（x1+1）（x2+1），讨论a，b的关系可比较（x1+1）（x2+1）与7的大小的结论．
解答：解：（1）∵f（x）=x，
∴ax2+4x+b=x，
α=
，β=
．
∵|α-β|=1，
∴
=|a|，
∴a2+4ab-9=0；
（2）∵a、b均为负整数，a2+4ab-9=0，
∴a（a+4b）=9，解得a=-1，b=-2．
∴f（x）=-x2+4x-2．
（3）∵关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2，
∴ax2+4x+b=0
∴x1x2=
，x1+x2=-
．
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=
-
+1．
-
+1-7=
，
∵a＜0，
当b＞6a+4时，（x1+1）（x2+1）＜7．
当b=6a+4时，（x1+1）（x2+1）=7．
当b＜6a+4时，（x1+1）（x2+1）＞7．
∴ax2+4x+b=x，
α=
-3+
| ||
| 2a |
-3-
| ||
| 2a |
∵|α-β|=1，
∴
| 9-4ab |
∴a2+4ab-9=0；
（2）∵a、b均为负整数，a2+4ab-9=0，
∴a（a+4b）=9，解得a=-1，b=-2．
∴f（x）=-x2+4x-2．
（3）∵关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2，
∴ax2+4x+b=0
∴x1x2=
| b |
| a |
| 4 |
| a |
∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=
| b |
| a |
| 4 |
| a |
| b |
| a |
| 4 |
| a |
| b-4-6a |
| a |
∵a＜0，
当b＞6a+4时，（x1+1）（x2+1）＜7．
当b=6a+4时，（x1+1）（x2+1）=7．
当b＜6a+4时，（x1+1）（x2+1）＞7．
点评：本题考查二次函数的综合运用，考查了确定函数式，方程与函数的关系，以及求一元二次方程的求根公式的应用．
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