题目内容
【题目】如图，已知
和
均为等腰直角三角形，
，点
为
的中点，过点
与
平行的直线交射线
于点
．
（1）当
，
，
三点在同一直线上时(如图1)，求证：为
的中点；
（2）将图1中的绕点旋转，当，，三点在同一直线上时(如图2)，求证：
为等腰直角三角形；
（3）将图1中绕点旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）成立，证明见解析．
【解析】
（1）利用ASA证明
，可得
，易证结论；
（2）由及
、
为等腰直角三角形的性质可得
，
，
，由SAS可证
，由全等三角形的性质易证
为等腰直角三角形；
（3）由及、为等腰直角三角形的性质可得，，由直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理可知
，利用
证明，由全等三角形的性质易证为等腰直角三角形.
证明：（1）∵
∴
(两直线平行，内错角相等)
∵点
为
的中点
∴
，在
和
中
∴
∴
∴为
的中点
（2）∵
∴
∵为等腰直角三角形
∴
∵为等腰直角三角形
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
且
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴为等腰直角三角形
（3）（2）中的结论仍成立.
∵
∴
∵为等腰直角三角形
∴
∵为等腰直角三角形
∴
∵
，
，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴
∴为等腰直角三角形
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