Question

在平面直角坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作第2个正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作第3个正方形A₂B₂C₂C₁…按这样的规律进行下去，第2个正方形的面积为

45

4

；第2011个正方形的面积为

5×(

3

2

)4020

．

Answer 1

分析：推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA₁，证△DOA∽△ABA₁，得出

BA1

AB

=

OA

OD

=

1

2

，求出AB，BA₁，求出边长A₁C=

3

2

5

，求出面积即可；求出第3个正方形的边长是(

3

2

)2

5

，面积(

9

4

5

)2；第4个正方形的面积是[(

3

2

)2]2×(

5

)2；依此类推得出第2011个正方形的边长是(

3

2

)2011-1

5

，面积是[(

3

2

)2010]2×(

5

)2，即可得出答案．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
∵∠DOA=∠ABA₁，
∴△DOA∽△ABA₁，
∴

BA1

AB

=

OA

OD

=

1

2

，
∵AB=AD=

22+12

=

5

，
∴BA₁=

1

2

5

，
∴第2个正方形A₁B₁C₁C的边长A₁C=A₁B+BC=

3

2

5

，面积是(

3

2

5

)2=(

3

2

)2×(

5

)2=

9

4

×5=

45

4

；
同理第3个正方形的边长是

3

2

5

+

3

4

5

=

9

4

5

=(

3

2

)2

5

，面积是：(

9

4

5

)2=

405

16

；
第4个正方形的边长是(

3

2

)3

5

，面积是[(

3

2

)³]²×(

5

)2；
…
第2011个正方形的边长是(

3

2

)2011-1

5

，面积是[(

3

2

)2010]2×(

5

)2=5×(

3

2

)4020．
故答案为：

45

4

，5×(

3

2

)4020．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．