题目内容
如图1，已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A（0，2），过直线EA上的两点F、G分别作轴的垂线段，垂足分别为M（m，0）和N（n，0），其中m＜0，n＞0。
（1）如果m=-4，n=1，试判断△AMN的形状；
（2）如果mn=-4，（1）中有关△AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图2，题目中的条件不变，如果mn=-4，并且ON=4，求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式；
（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标。
（1）如果m=-4，n=1，试判断△AMN的形状；
（2）如果mn=-4，（1）中有关△AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图2，题目中的条件不变，如果mn=-4，并且ON=4，求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式；
（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标。
图1 图2
| 解：（1）△AMN是直角三角形， 依题意得OA=2，OM=4，ON=1， ∴MN=OM+ON=4+1=5， 在Rt△AOM中，AM=  = = 在Rt△AON中，AN=  = = ∴MN2=AM2+AN2， ∴△AMN是直角三角形； （解法不惟一） |
 |
| （2）答：（1）中的结论还成立， 依题意得OA=2，OM=-m，ON=n， ∴MN=OM+ON=n-m， ∴MN2=（n-m）2=n2-2mn+m2， ∵mn=-4， ∴MN2=n2-2×（-4）+m2=n2+m2+8， 又∵在Rt△AOM中，AM=  = = 在Rt△AON中，AN=  = = ∴AM2+AN2=4+m2+4+n2=n2+m2+8， ∴MN2=AM2+AN2， ∴△AMN是直角三角形；（解法不惟一） |
 |
| （3） ∵mn=-4，n=4， ∴m=-1， 设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c， ∵抛物线经过点M（-1，0）、 N（4，0）和A（0，2）， ∴  ∴  ∴所求抛物线的函数关系式为y=-  x2+ x+2； |
 |
| （4） 抛物线的对称轴与x轴的交点Q1符合条件， ∵l⊥MN，∠ANM=∠PN Q1， ∴Rt△PNQ1∽Rt△ANM， ∵抛物线的对称轴为x=  ，∴Q1（ ，0），∴NQ1=4-  =，过点N作NQ2⊥AN，交抛物线的对称轴于点Q2， ∴Rt△PQ2N、Rt△NQ2Q1、Rt△PNQ1和Rt△ANM两两相似， ∴  ，即Q1Q2-  ，∵点Q2位于第四象限， ∴Q2（  ，-5），因此，符合条件的点有两个，分别是Q1（  ，0），Q2（ ，-5）。 |
练习册系列答案
通城学典默写能手系列答案
相关题目
