题目内容
如图1，已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A（0，2），过直线EA上的两点F、G分别作x轴的垂线段，垂足分别为M（m，0）和N（n，0），其中m＜0，n＞0．（1）如果m=-4，n=1，试判断△AMN的形状；
（2）如果mn=-4，（1）中有关△AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图2，题目中的条件不变，如果mn=-4，并且ON=4，求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式；
（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴l与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标．
分析：（1）根据勾股定理可以求出AM．AN，MN的长度，根据勾股定理的逆定理就可以求出三角形是直角三角形．
（2）AM．AN，MN的长度可以用m，n表示出来，根据m，n的关系就可以证明．
（3）M、A、N的坐标已知，根据待定系数法局可以求出二次函数的解析式．
（4）抛物线的对称轴与x轴的交点Q1符合条件，易证Rt△PNQ1∽Rt△ANM且Rt△PQ2N、Rt△NQ2Q1、Rt△PNQ1和Rt△ANM两两相似，根据相似三角形的对应边的比相等，得到
=
就可以求出Q1Q2得到符合条件的点的坐标．
（2）AM．AN，MN的长度可以用m，n表示出来，根据m，n的关系就可以证明．
（3）M、A、N的坐标已知，根据待定系数法局可以求出二次函数的解析式．
（4）抛物线的对称轴与x轴的交点Q1符合条件，易证Rt△PNQ1∽Rt△ANM且Rt△PQ2N、Rt△NQ2Q1、Rt△PNQ1和Rt△ANM两两相似，根据相似三角形的对应边的比相等，得到
| Q1Q2 |
| AN |
| Q1N |
| AM |
解答：解：（1）△AMN是直角三角形．
依题意得OA=2，OM=4，ON=1，
∴MN=OM+ON=4+1=5
在Rt△AOM中，AM=
=
=2
在Rt△AON中，AN=
=
=
∴MN2=AM2+AN2
∴△AMN是直角三角形（解法不惟一）．（2分）
（2）答：（1）中的结论还成立．
依题意得OA=2，OM=-m，ON=n
∴MN=OM+ON=n-m
∴MN2=（n-m）2=n2-2mn+m2
∵mn=-4
∴MN2=n2-2×（-4）+m2=n2+m2+8
又∵在Rt△AOM中，AM=
=
=
在Rt△AON中，AN=
=
=
∴AM2+AN2=4+m2+4+n2=n2+m2+8
∴MN2=AM2+AN2
∴△AMN是直角三角形．（解法不惟一）（2分）
（3）∵mn=-4，n=4，
∴m=-1．
方法一：设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c．
∵抛物线经过点M（-1，0）、N（4，0）和A（0，2）
∴
．
∴
．
∴所求抛物线的函数关系式为y=-
x2+
x+2．
方法二：设抛物线的函数关系式为y=a（x+1）（x-4）．
∵抛物线经过点A（0，2）
∴-4a=2解得a=-
∴所求抛物线的函数关系式为y=-
（x+1）（x-4）
即y=-
x2+
x+2．（2分）
（4）抛物线的对称轴与x轴的交点Q1符合条件，
∵l⊥MN，∠ANM=∠PNQ1，
∴Rt△PNQ1∽Rt△ANM
∵抛物线的对称轴为直线x=
，
∴Q1（
，0）（2分）
∴NQ1=4-
=
．
过点N作NQ2⊥AN，交抛物线的对称轴于点Q2．
∴Rt△PQ2N、Rt△NQ2Q1、Rt△PNQ1和Rt△ANM两两相似
∴
=
即Q1Q2=
•AN=
•
=5
∵点Q2位于第四象限，
∴Q2（
，-5）（2分）
因此，符合条件的点有两个，
分别是Q1（
，0），Q2（
，-5）．
（解法不惟一）
依题意得OA=2，OM=4，ON=1，
∴MN=OM+ON=4+1=5
在Rt△AOM中，AM=
| OA2+OM2 |
| 22+42 |
| 5 |
在Rt△AON中，AN=
| OA2+ON2 |
| 22+12 |
| 5 |
∴MN2=AM2+AN2
∴△AMN是直角三角形（解法不惟一）．（2分）
（2）答：（1）中的结论还成立．
依题意得OA=2，OM=-m，ON=n
∴MN=OM+ON=n-m
∴MN2=（n-m）2=n2-2mn+m2
∵mn=-4
∴MN2=n2-2×（-4）+m2=n2+m2+8
又∵在Rt△AOM中，AM=
| OA2+OM2 |
| 22+(-m)2 |
| 4+m2 |
在Rt△AON中，AN=
| OA2+ON2 |
| 22+n2 |
| 4+n2 |
∴AM2+AN2=4+m2+4+n2=n2+m2+8
∴MN2=AM2+AN2
∴△AMN是直角三角形．（解法不惟一）（2分）
（3）∵mn=-4，n=4，
∴m=-1．
方法一：设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c．
∵抛物线经过点M（-1，0）、N（4，0）和A（0，2）
∴
|
∴
|
∴所求抛物线的函数关系式为y=-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
方法二：设抛物线的函数关系式为y=a（x+1）（x-4）．
∵抛物线经过点A（0，2）
∴-4a=2解得a=-
| 1 |
| 2 |
∴所求抛物线的函数关系式为y=-
| 1 |
| 2 |
即y=-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（4）抛物线的对称轴与x轴的交点Q1符合条件，
∵l⊥MN，∠ANM=∠PNQ1，
∴Rt△PNQ1∽Rt△ANM
∵抛物线的对称轴为直线x=
| 3 |
| 2 |
∴Q1（
| 3 |
| 2 |
∴NQ1=4-
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
过点N作NQ2⊥AN，交抛物线的对称轴于点Q2．
∴Rt△PQ2N、Rt△NQ2Q1、Rt△PNQ1和Rt△ANM两两相似
∴
| Q1Q2 |
| AN |
| Q1N |
| AM |
即Q1Q2=
| Q1N |
| AM |
| ||
|
| 22+42 |
∵点Q2位于第四象限，
∴Q2（
| 3 |
| 2 |
因此，符合条件的点有两个，
分别是Q1（
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（解法不惟一）
点评：本题主要考查了勾股定理的逆定理，待定系数法求函数的解析式．以及相似三角形的性质，对应边的比相等．
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