Question

【题目】如图，直线l1⊥x轴于点A（2，0），点B是直线l1上的动点．直线l2：y=x+1交l1于点C，过点B作直线l3垂直于l2 ， 垂足为D，过点O，B的直线l4交l2于点E，当直线l1 ， l2 ， l3能围成三角形时，设该三角形面积为S1 ， 当直线l2 ， l3 ， l4能围成三角形时，设该三角形面积为S2 ．

（1）若点B在线段AC上，且S1=S2 ， 则B点坐标为；
（2）若点B在直线l1上，且S2= S1 ， 则∠BOA的度数为 ．

Answer 1

【答案】
（1）（2，0）
（2）15°或75°
【解析】解：（1.）设B的坐标是（2，m），
∵直线l2：y=x+1交l1于点C，
∴∠ACE=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
BC=|3﹣m|，
则BD=CD= BC= |3﹣m|，
S1= ×（ |3﹣m|）2= （3﹣m）2 ．
设直线l4的解析式是y=kx，过点B，
则2k=m，解得：k= ，
则直线l4的解析式是y= x．
根据题意得： ，解得： ，
则E的坐标是（ ， ）．
S△BCE= BC| |= |3﹣m|| |= ．
∴S2=S△BCE﹣S1= ﹣ （3﹣m）2 ．
当S1=S2时， ﹣ （3﹣m）2= （3﹣m）2 ．
解得：m1=4或m2=0，
易得点C坐标为（2，3），即AC=3，
∵点B在线段AC上，
∴m1=4不合题意舍去，
则B的坐标是（2，0）；
（2.）分三种情况：
①当点B在线段AC上时

当S2= S1时， ﹣ （3﹣m）2= （3﹣m）2 ．
解得：m=4﹣2 或2 （不在线段AC上，舍去），或m=3（l2和l4重合，舍去）．
则AB=4﹣2 ．
在OA上取点F，使OF=BF，连接BF，设OF=BF=x．
则AF=2﹣x，根据勾股定理， ，
解得： ，
∴sin∠BFA= ，
∴∠BFA=30°，
∴∠BOA=15°；
②当点B在AC延长线上时，

此时，
当S2= S1时，得： ，
解得符合题意有：AB=4+2 ．
在AB上取点G，使BG=OG，连接OG，设BG=OG=x，
则AG=4+2 ﹣x．根据勾股定理，得 ，
解得：x=4，
∴sin∠OGA= ，
∴∠OGA=30°，
∴∠OBA=15°，
∴∠BOA=75°；
③当点B在CA延长线上时，S1＞S2 ，

此时满足条件的点B不存在，
综上所述，∠BOA的度数为15°或75°．