题目内容

如图,AB是等腰直角三角形ABC的斜边,若点M在边AC上,点N在边BC上,沿直线MN将△MCN翻折,使点C落在边AB上,设其落点为P.
(1)当点P是边AB的中点时,比例式
PA
PB
=
CM
CN
成立吗?为什么?
(2)当点P不是边AB的中点时,
PA
PB
=
CM
CN
是否仍然成立?请说明理由.
分析:(1)首先连接PC,易证得△CMN∽△CAB,然后由相似三角形的对应边成比例,证得
CM
CN
=
AC
BC
=1,继而可得比例式
PA
PB
=
CM
CN
成立;
(2)首先连接PC,则MN⊥PC,过点P作PE⊥AC于点E,易证得△AEP∽△ACB,△MCN∽△PEC,然后由相似三角形的对应边成比例,证得
PA
PB
=
CM
CN
成立.
解答:解:(1)点P是边AB的中点时,比例式
PA
PB
=
CM
CN
成立.
理由:如图(1),连接PC,
∵MN是折痕,
∴MN垂直平分PC,
∵AC=BC,AP=BP,
∴CP⊥AB,
PA
PB
=1,
∴MN∥AB,
∴△CMN∽△CAB,
CM
CN
=
AC
BC
=1,
PA
PB
=
CM
CN


(2)当点P不是边AB的中点时,
PA
PB
=
CM
CN
仍然成立.
理由:如图(2),连接PC,则MN⊥PC,
过点P作PE⊥AC于点E,
∵∠ACB=90°,∠A是公共角,
∴△AEP∽△ACB,
PA
PB
=
AE
EC

∵AC=BC,
∴∠A=∠B=45°,∠APE=∠B=45°,
∴AE=EP,
∵∠MCN=90°,CP⊥MN,
∴∠ECP=∠MNC,
∴△MCN∽△PEC,
CM
PE
=
CN
EC

CM
CN
=
PE
EC
=
AE
EC

PA
PB
=
CM
CN
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及等腰三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
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