Question

【题目】已知关于 x 的方程 x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0，有两个实数根 x1，x2．

（1）求 k 的取值范围；

（2）若方程的两实数根 x1，x2 满足 x1x2－x12－x22＝－16，求实数 k 的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）k＝－3

【解析】

（1）利用判别式的意义得到△=（2k+1）2-4（k2+2k）≥0，然后解不等式得到k的范围；

（2）据题根与系数的关系得到x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，再利用x1x2-x12-x22=-16得到-（x1+x2）2+3x1x2=-16，则-（2k+1）2+3（k2+2k）=-16，然后解关于k的方程得到满足条件的k的值．

解：（1）由题意得△=（2k+1）2-4（k2+2k）≥0，

解得：

（2）根据题意得x1+x2=2k+1，x1x2=k2+2k，

∵x1x2-x12-x22=-16，

∴x1x2-[（x1+x2）2-2x1x2]=-16，即-（x1+x2）2+3x1x2=-16，

∴-（2k+1）2+3（k2+2k）=-16，

整理得k2-2k-15=0，解得k1=5，k2=-3，

∵

∴k＝－3