Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连接DE．
（1）当BD=3时，求线段DE的长；
（2）过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．

Answer 1

（1）解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∵DB为直径，
∴∠DEB=∠C=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△DBE∽△ABC，
∴，
即，
∴DE=；

（2）证法一：连接OE，
∵EF为半圆O的切线，
∴∠DEO+∠DEF=90°，
∴∠AEF=∠DEO，
∵△DBE∽△ABC，
∴∠A=∠EDB，
又∵∠EDO=∠DEO，
∴∠AEF=∠A，
∴△FAE是等腰三角形；

证法二：连接OE
∵EF为切线，
∴∠AEF+∠OEB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠B，
∴∠AEF=∠A，
∴△FAE是等腰三角形．
分析：（1）由DB为直径可以得到∠DEB=∠C=90°，由此可以证明Rt△DBE∽Rt△ABC有，把AC，BD，AB的值即可求得DE的值；
（2）由弦切角定理可得，∠B=∠FED，再由等角的余角相等知，∠A=∠FEA，故AF=EF．
点评：本题利用了勾股定理，直径对的圆周角是直角，切线的概念和性质，相似三角形的判定和性质，同角或等角的余角相等等知识，综合性比较强．