Question

如图1，已知：点A（-1，1）绕原点O顺时针旋转90°后刚好落在反比例函数图象上点B处．
（1）求反比函数的解析式；
（2）如图2，直线OB与反比例函数图象交于另一点C，在x轴上是否存在点D，使△DBC是等腰三角形？若不存在，请说明不存在的理由；如果存在，请求所有符合条件的点D的坐标；
（3）如图3，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，点P为反比例函数在第一象限图象上一动点，PG⊥x轴于G，交线段EF于M，PH⊥y轴于H，交线段EF于N．当点P运动时，∠MON的度数是否改变？如果改变，试说明理由；如果不变，请求其度数．

Answer 1

解：（1）由点A（-1，1）绕原点O顺时针旋转90°后刚好落在反比例函数的B点，
得到B（1，1），
将x=1，y=1代入y=中得：k=1，
则反比例函数解析式为y=；

（2）在x轴上存在点D，使△DBC是等腰三角形，理由为：
分两种情况考虑：
当C为等腰三角形的顶角顶点时，以C为圆心，CB长为半径画弧，与x轴交于D₁，D₂，如图所示，

过C作CM⊥x轴于点M，
∵B（1，1），即ON=BN=1，且C（-1，-1），即CM=OM=1，
∴OB=OC=，
∴BC=OB+OC=2，即CD₁=CD₂=BC=2，
在Rt△CMD₁中，根据勾股定理得：CD₁²=CM²+MD₁²，
∴（2）²=1²+MD₁²，即MD₁=，
∴OD₁=MD₁+OM=+1，又D₁在x轴负半轴上，
∴D₁（--1，0），
同理D₂（-1，0）；
当B为等腰三角形的顶角顶点时，以B为圆心，BC长为半径画弧，与x轴交于D₃，D₄，如图所示，
过点B作BN⊥x轴于点N，同理可得BD₃=BD₄=BC=2，
在Rt△BND₃中，根据勾股定理得：BD₃²=BN²+ND₃²，
∴（2）²=1²+ND₃²，即ND₃=，
∴OD₃=ND₃-ON=-1，又D₁在x轴负半轴上，
∴D₃（-+1，0），
同理D₄（+1，0），
综上，所有符合条件的点D的坐标为（--1，0）或（-1，0）或（-+1，0）或（+1，0）；

（3）当点P运动时，∠MON的度数不变，为45°，理由为：
设P坐标为（a，），
∵OE=OF=，
∴EF=2，∠OBA=∠OAB=45°，
∴ME=GE=（-a），FN=FH=（-），
∴FM=EF-ME=a，EN=EF-FN=，
∴FM•EN=a•=2=OE•OF，
∴=，
又∵∠OFM=∠NEO=45°，
∴△FMO∽△EON，
∴∠FMO=∠EON，
∴∠MEO+∠MOE=∠MON+∠MOE，
则∠MON=∠MEO=45°．
分析：（1）由A点绕原点O逆时针旋转90°与点B重合，根据A的坐标得出B点的坐标，将B的坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）在x轴上存在点D，使△DBC是等腰三角形，理由为：分两种情况考虑，（i）以C为圆心，CB长为半径画弧于x轴交于两点，分别为D₁和D₂的位置，如图所示，过C作CM垂直于x轴于点M，由B的坐标得到C的坐标，确定出CM与CD₁的长，在直角三角形CMD₁中，利用勾股定理求出MD₁的长，由MD₁+OM求出OD₁的长，确定出D₁的坐标，同理求出D₂的坐标；（ii）以B为圆心，BC长为半径画弧于x轴交于两点，分别为D₃与D₄的位置，过B作BN垂直于x轴于点N，在直角三角形BND₃中，利用勾股定理求出ND₃的长，由ND₃-ON求出OD₃的长，确定出D₃的坐标，同理确定出D₄的坐标，综上，得到所有满足题意的D的坐标；
（3）当点P运动时，∠MON的度数不变，为45°，理由为：由P在反比例函数图象上，设P的坐标为（a，），进而确定出PG与OG的长，由一次函数的解析式求出E和F的坐标，确定出OE与OF的长，利用勾股定理求出EF的长，且得到三角形OEF为等腰直角三角形，可得出两个角为45°，进而得到三角形MEG与三角形FHN都为等腰直角三角形，用OE-OG表示出GE，进而表示出ME，用EF-ME表示出FM，同理表示出NE，求出FM与NE的乘积，发现与OE与OF的乘积相等，将积的恒等式化为比例式，再由夹角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似得到三角形FOM与三角形EON相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠FMO=∠EON，而∠FMO为三角形MOE的外角，利用外角性质得到两个角相加，又∠EON等于两个角相加，利用等式的性质得到∠MON=∠MEO相等，由∠MEO为45° 可得出∠MON为45°．
点评：此题考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，以及利用待定系数法求函数解析式，利用了分类讨论及数形结合的数学思想，是一道综合性较强的试题．