题目内容
【题目】已知如图1,在中,
,
,
,点
分别是
的中点,分别延长
到点
,使得
,连接
.
(1)求证:四边形是矩形;
(2)如图2,连接,若
平分
.
①求的长;
②如图3,连接,分别交
于点
.求证:
是等腰三角形.
【答案】(1)证明见解析;(2)①5;②证明见解析.
【解析】
(1)根据一组对边平行且相等可得:四边形DBFG是平行四边形,根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论;
(2)①如图2,过C作CH⊥DG于H,证明△ADE≌△CHE,得CH=AD,EH=DE,设CF=x,则BF=2+x,GH=CF=x,EG=x+1,根据平行线的性质和角平分线的定义得:EG=CG=x+1,结合勾股定理列方解方程可得结论;
②证明△DEM∽△FCM,得根据勾股定理计算AC、DF、CG的长,再结合
可得MN=CM,得△MCN是等腰三角形.
证明:(1)如图1,∵点分别是
的中点,
∴四边形是平行四边形,
∴是矩形;
(2)①如图2,过作
于
,
,
,
,
设,则
,
∵平分
,
中,由勾股定理得:
,
②如图:
,
,
由勾股定理得:,
,
,
是
的中点,
,
,
同理得:,
,
,
,
,
,
是等腰三角形.
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