题目内容

【题目】已知如图1,在中, ,点分别是的中点,分别延长到点,使得,连接

1)求证:四边形是矩形;

2)如图2,连接,若平分

①求的长;

②如图3,连接,分别交于点.求证:是等腰三角形.

【答案】1)证明见解析;(2)①5;②证明见解析.

【解析】

1)根据一组对边平行且相等可得:四边形DBFG是平行四边形,根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论;

2)①如图2,过CCHDGH,证明△ADE≌△CHE,得CH=ADEH=DE,设CF=x,则BF=2+xGH=CF=xEG=x+1,根据平行线的性质和角平分线的定义得:EG=CG=x+1,结合勾股定理列方解方程可得结论;

②证明△DEM∽△FCM,得根据勾股定理计算ACDFCG的长,再结合可得MN=CM,得△MCN是等腰三角形.

证明:(1)如图1,∵点分别是的中点,

∴四边形是平行四边形,

是矩形;

(2)①如图2,过

,则

平分

中,由勾股定理得:

②如图: 

由勾股定理得:

的中点,

同理得:

是等腰三角形.

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