Question

（2012•上海）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（-1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=

1

2

，EF⊥OD，垂足为F．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；
（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．

Answer 1

分析：（1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）关键是证明△EDF∽△DAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解；
（3）如解答图，通过作辅助线构造一对全等三角形：△GCA≌△OAC，得到CG、AG的长度；然后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值．

解答：解：（1）二次函数y=ax²+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（-1，0），
∴

16a+6×4+c=0 a-6+c=0

，解得

a=-2 c=8

，
∴这个二次函数的解析式为：y=-2x²+6x+8；

（2）∵∠EFD=∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，
∴∠DEF=∠ODA
∴△EDF∽△DAO
∴

EF

DO

=

ED

DA

．
∵

ED

DA

=tan∠DAE=

1

2

，
∴

EF

DO

=

1

2

，
∴

EF

t

=

1

2

，
∴EF=

1

2

t．
同理

DF

OA

=

ED

DA

，
∴DF=2，
∴OF=t-2．

（3）∵抛物线的解析式为：y=-2x²+6x+8，
∴C（0，8），OC=8．
如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．
∵∠ECA=∠OAC，
在△GCA与△OAC中，

∠GCA=∠CAO AC=AC ∠COA=∠CGA

，
∴△GCA≌△OAC，
∴CG=4，AG=OC=8．
如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，
∴EM=OF=t-2，AM=OA+OM=OA+EF=4+

1

2

t，
由勾股定理得：
∵AE²=AM²+EM²=(4+

1

2

t)2+(t-2)2；
在Rt△AEG中，由勾股定理得：
∴EG=

AE2-AG2

=

(4+ 1 2 t)2+(t-2)2-82

=

5 4 t2-44

∵在Rt△ECF中，EF=

1

2

t，CF=OC-OF=OC-EM=8-（t-2）=10-t，CE=CG+EG=

5 4 t2-44

+4
由勾股定理得：EF²+CF²=CE²，
即(

1

2

t)2+(10-t)2=(

5 4 t2-44

+4)2，
解得t₁=10，t₂=6，
∵当t=10时，CF=10-10=0，
∴不合题意舍去，
∴t=6．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和待定系数法求二次函数解析式等多个知识点，难度较大．第（3）问中，涉及到无理方程的求解，并且计算较为复杂，注意不要出错．