Question

已知关于x的一元二次方程k²x²+（1-2k）x+1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；（2）当k为何值时，|x₁+x₂|-2x₁x₂=-3．

Answer 1

分析：（1）根据方程由两个不相等的实数根，则有△＞0，可列出不等式，求出k的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可求出答案．

解答：解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=（1-2k）²-4k²＞0，即1-4k＞0，
∴k＜

1

4

且k≠0．
（2）∵方程有两个不相等的实数根，
∴x₁+x₂=

2k-1

k2

，
x₁x₂=

1

k2

，
∴|x₁+x₂|-2x₁x₂=|

2k-1

k2

|-

2

k2

=-3，即|2k-1|=-3k²+2
当2k-1≥0，即k≥

1

2

时，与（1）中k＜

1

4

相矛盾，故舍去．
当2k-1＜0，即k＜

1

2

时，|2k-1|=-3k²+2即1-2k=-3k²+2
解得k=-

1

3

或k=1（舍去）．
故k=-

1

3

时，|x₁+x₂|-2x₁x₂=-3成立．

点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系及根与系数的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
（4）若一元二次方程有实数根，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．