Question

如图1，在平面直角坐标系xoy中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴的正半轴交于A，B两点，A在B的左侧，且OA，OB的长是方程x²-12x+27=0的两根，ON是⊙M的切线，N为切点，N在第四象限．
（1）求⊙M的直径的长．
（2）如图2，将△ONM沿ON翻转180°至△ONG，求证△OMG是等边三角形．
（3）求直线ON的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先解一元二次方程的得出OA，OB的长，进而得出OM的长；
（2）利用翻折变换的性质得出MN=GN=3，OG=OM=6，进而得出答案；
（3）首先求出CM的长，进而得出CN的长，即可得出OC的长，求出N点坐标，即可得出ON的解析式．

解答：解：（1）解方程x²-12x+27=0，
（x-9）（x-3）=0，
解得：x₁=9，x₂=3，
∵A在B的左侧，
∴OA=3，OB=9，
∴AB=OB-OA=6，
∴OM的直径为6；

（2）由已知得：MN=GN=3，OG=OM=6，
∴OM=OG=MN=6，
∴△OMG是等边三角形．

（3）如图2，过N作NC⊥OM，垂足为C，
连结MN，则MN⊥ON，
∵△OMG是等边三角形．
∴∠CMN=60°，∠CNM=30°，
∴CM=

1

2

MN=

1

2

×3=

3

2

，
在Rt△CMN中，
CN=

MN2-CM2

=

32-( 3 2 )2

=

3 3

2

，
∴OC=OM-CM=6-

3

2

=

9

2

，
∴N的坐标为(

9

2

，-

3 3

2

)，
设直线ON的解析式为y=kx，
∴-

3 3

2

=

9

2

x，
∴k=-

3

3

，
∴直线ON的解析式为y=-

3

3

x．

点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及勾股定理和等边三角形的性质等知识，根据已知得出N点坐标是解题关键．