题目内容
【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.
(1)求证:AE与⊙O相切;
(2)当BC=4,cosC=时,求⊙O的半径.
【答案】(1)通过证明OM⊥AE即可证明AE与⊙O相切。
(2)半径为
【解析】试题分析:(1)连接OM.根据OB=OM,得∠OMB=∠OBM,结合BM平分∠ABC交AE于点M,得∠OBM=∠EBM,则OM∥BE;根据等腰三角形三线合一的性质,得AE⊥BC,则OM⊥AE,从而证明结论;(2)设圆的半径是r.根据等腰三角形三线合一的性质,得BE=CE=2,再根据解直角三角形的知识求得AB=6,则OA=6-r,从而根据平行线分线段成比例定理求解;
试题解析:
(1) 连接OM,则OM=OB,如图所示:
∴∠OBM=∠OMB
∵BM平分∠ABC
∴∠OBM=∠EBM
∴∠OMB=∠EBM
∴OM∥BE
∴∠AMO=∠AEB
而在⊿ABC中,AB=AC,AE是角平分线
∴AE⊥BC
∴∠AMO=∠AEB=90°
∴AE与⊙O相切.
(2) 在⊿ABC中,AB=AC,AE是角平分线
∴BE=BC=2,∠ABC=∠ACB
∴在Rt⊿ABC中cos∠ABC=cos∠ACB==
∴AB=6
设⊙O的半径为r,则AO=6-r
∵OM∥BC
∴△AOM∽△ABE
∴=
即 =
∴r=
练习册系列答案
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