题目内容

【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分线,BM平分∠ABCAE于点M,经过B,M两点的⊙OBC于点G,AB于点F,FB恰为⊙O的直径.

1)求证:AE⊙O相切;

2)当BC=4,cosC=时,求O的半径.

【答案】(1)通过证明OM⊥AE即可证明AE⊙O相切。

(2)半径为

【解析】试题分析:(1)连接OM.根据OB=OM,得∠OMB=∠OBM,结合BM平分∠ABCAE于点M,得∠OBM=∠EBM,则OM∥BE;根据等腰三角形三线合一的性质,得AE⊥BC,则OM⊥AE,从而证明结论;(2)设圆的半径是r.根据等腰三角形三线合一的性质,得BE=CE=2,再根据解直角三角形的知识求得AB=6,则OA=6-r,从而根据平行线分线段成比例定理求解;

试题解析:

(1) 连接OM,则OMOB如图所示:

∴∠OBM=OMB

BM平分∠ABC

∴∠OBM=∠EBM

∴∠OMB=EBM

OMBE

∴∠AMO=AEB

而在⊿ABC中,AB=AC,AE是角平分线

AEBC

∴∠AMO=AEB=90°

AE与⊙O相切.

(2) 在⊿ABC中,AB=AC,AE是角平分线

BE=BC=2,ABC=ACB

∴在RtABCcosABC=cosACB==

AB=6

设⊙O的半径为r,AO=6-r

OMBC

∴△AOM∽△ABE

=

=

r=

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