题目内容
【题目】如图1,已知A(3,0)、B(4,4)、原点O(0,0)在抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)上.
(1)求抛物线的解析式.
(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个交点D,求m的值及点D的坐标.
(3)如图2,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)
【答案】(1)y=x2﹣3x (2)m=4 点D的坐标为(2,﹣2) (3)点P的坐标为()和()
【解析】
试题(1)利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可。
(2)首先求出直线OB的解析式为y=x,进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可。
(3)首先求出直线A′B的解析式,进而由△P1OD∽△NOB,得出△P1OD∽△N1OB1,进而求出点P1的坐标,再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标。
解:(1)∵A(3,0)、B(4,4)、O(0,0)在抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)上,
∴,解得:。
∴抛物线的解析式为:y=x2﹣3x。
(2)设直线OB的解析式为y=k1x( k1≠0),
由点B(4,4)得4=4 k1,解得k1=1。
∴直线OB的解析式为y=x,∠AOB=45°。
∵B(4,4),∴点B向下平移m个单位长度的点B′的坐标为(4,0)。∴m=4。
∴平移m个单位长度的直线为y=x﹣4。
解方程组,解得:。
∴点D的坐标为(2,﹣2)。
(3)∵直线OB的解析式y=x,且A(3,0),
∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标为(0,3)。
设直线A′B的解析式为y=k2x+3,此直线过点B(4,4)。
∴4k2+3=4,解得 k2=。
∴直线A′B的解析式为y=x+3。
∵∠NBO=∠ABO,∴点N在直线A′B上。
设点N(n, n+3),
又点N在抛物线y=x2﹣3x上,
∴n+3=n2﹣3n,解得 n1=,n2=4(不合题意,舍去)。
∴点N的坐标为()。
如图,将△NOB沿x轴翻折,得到△N1OB1,
则 N1 (),B1(4,﹣4)。
∴O、D、B1都在直线y=﹣x上。
∵△P1OD∽△NOB,∴△P1OD∽△N1OB1。∴P1为O N1的中点。
∴。∴点P1的坐标为()。
将△P1OD沿直线y=﹣x翻折,可得另一个满足条件的点到x轴距离等于P1到y轴距离,点到y轴距离等于P1到x轴距离,
∴此点坐标为:()。