Question

先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．

1

1×2

=1-

1

2

；   

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；   

1

3×4

=

1

3

-

1

4

将以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

（1）计算

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

=

9

10

；
（2）探究

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

n

n+1

；（用含有n的式子表示）
（3）探究并计算：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2007×2009

．

Answer 1

分析：（1）根据题干的规律，分别将每一个式子写成两个分数差的形式，再计算；
（2）根据题干的规律，分别将每一个式子写成两个分数差的形式，再计算；
（3）先提

1

2

出来，然后和前面的运算方法一样．

解答：解：（1）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

9

-

1

10

=1-

1

10

=

9

10

；

（2）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；

（3）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2007×2009

=

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2007

-

1

2009

）
=

1

2

×（1-

1

2009

）
=

1

2

×

2008

2009

=

1004

2009

．
故答案为：

9

10

；

n

n+1

．

点评：本题考查了关于数字变化的规律：通过观察数字之间的变化规律，得到一般性的结论，再利用此结论解决问题．