题目内容

【题目】如图1,△ABC中,CACB,∠ACB120°,点EFAB上,且∠ECF60°.

1)①在图1中画出;点A关于直线CF的对称点G;②若EFAF,求证:BEEF

2)如图2,∠ABP120°,射线BPCE的延长线于点P,求证:PB+AFPF

【答案】1)①见解析,②见解析;(2)见解析.

【解析】

1)根据对称的性质画出点G,根据对称的性质和全等三角形的性质可求证BEEF.2)将△ACFC点逆时针旋转至AC与BC重合,根据全等三角形的性质可求证PB+AFPF.

解:(1)①如解图(1):G为点A关于直线CF的对称点;

②连接FGCGEG

G为点A关于直线CF的对称点;

∴△ACF≌△GCF

ACCG,∠ACF=∠GCF,∠FGC=∠A

又∵ACBC

CGCB

∵∠ACB120°,∠ECF60°,

∴∠ECG60°﹣∠GCF60°﹣∠ACF,∠BCE60°﹣∠ACF

∴∠ECG=∠ECB

在△GCE和△BCE

∴△GCE≌△BCESAS),

EGBE,∠B=∠EGC

∵∠ACB120°,

∴∠A+∠B60°,

∴∠EGC+∠FGC60°,

又∵AFEFFG

∴△FEG为等边三角形,

EFEGBE,即BEEF

2)证明:由ACBC,∠ACB120°,故可将△ACFC点逆时针旋转120°到△BCF′位置,如解图2

∵△ACF≌△BCF′,

∴∠A=∠CBA=∠CBF′=30°,AFBF’,∠ACF=∠BCF

又∵∠FBP120°,

∴∠FBP+∠ABC+∠CBF′=180°,

BPF′在同一直线上,

又∵∠ACF+∠BCE=∠BCF′+∠BCE60°,即∠PCF’=60°.

在△CFP和△CFP中,

∴△CFP≌△CFPSAS

FPFP

PB+BF′=BP+AF

PB+AFPF

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