题目内容

【题目】已如抛物线yax2+bx+c与直线ymx+n相交于两点,这两点的坐标分别是(0,﹣)和(mbm2mb+n),其中abcmn为实数,且am不为0

1)求c的值;

2)求证:抛物线yax2+bx+cx轴有两个交点;

3)当﹣1≤x≤1时,设抛物线yax2+bx+cx轴距离最大的点为Px0y0),求这时|y0|的最小值.

【答案】1c;(2)见解析;(3)当b0x00时,这时|yo|取最小值,为|yo|

【解析】

1)将(0)代入抛物线y=ax2+bx+c中即可;

2)先求n的值,再将点的坐标(m-bm2-mb+n)代入y=ax2+bx+c中,计算0即可;

3)先根据公式分别求抛物线的对称轴和最小值,分四种情况进行讨论:

①当-1,即b2时,如图1,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1yo),在x轴下方与x轴距离最大的点是(-1yo),代入抛物线的解析式中分别求|H||h|,作判断即可;

②当-1≤≤0,即0≤b≤2时,如图2

③当0≤1,即-2≤b0时,如图3

④当1,即b-2时,如图4

根据图象分别求其y0的取值范围,可得结论.

解:(1)∵(0)在yax2+bx+c上,

a×02+b×0+c

c

2)又可得 n

∵点(mbm2mb+n)在yax2+bx+c上,

m2mbamb2+bmb

∴(a1)(mb20

若(mb)=0,则(mbm2mb+n)与(0)重合,与题意不合,

a1

∴抛物线yax2+bx+c,就是yx2+bx

△=b24acb2)=b2+20

∴抛物线yax2+bx+cx轴有两个交点;

3)抛物线yx2+bx的对称轴为,最小值为

设抛物线yx2+bxx轴上方与x轴距离最大的点的纵坐标为H,在x轴下方与x轴距离最大的点的纵坐标为h

①当<﹣1,即b2时,如图1,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1yo),

|H|yo+b

x轴下方与x轴距离最大的点是(﹣1yo),

|h||yo||b|b

|H||h|

∴这时|yo|的最小值大于

②当﹣1≤≤0,即0≤b≤2时,如图2,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1yo),

|H|yo+b≥,当b0时等号成立.

x轴下方与x轴距离最大的点是

|h|||,当b0时等号成立.

∴这时|yo|的最小值等于

③当0≤1,即﹣2≤b0时,如图3,在x轴上方与x轴距离最大的点是

(﹣1yo),

|H|yo1+(﹣1bb,在x轴下方与x轴距离最大的点是

|h||yo|||

∴这 |yo|

④当1,即b<﹣2时,如图4,在x轴上方与x轴距离最大的点是(﹣1yo),

|H|b,在x轴下方与x轴距离最大的点是(1yo),

|h||+b|=﹣(b+)>

|H||h|

∴这时|yo|的最小值大于

综上所述,当b0x00时,这时|yo|取最小值,为|yo|

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