题目内容
【题目】已如抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n相交于两点,这两点的坐标分别是(0,﹣)和(m﹣b,m2﹣mb+n),其中a,b,c,m,n为实数,且a,m不为0.
(1)求c的值;
(2)求证:抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点;
(3)当﹣1≤x≤1时,设抛物线y=ax2+bx+c与x轴距离最大的点为P(x0,y0),求这时|y0|的最小值.
【答案】(1)c=;(2)见解析;(3)当b=0,x0=0时,这时|yo|取最小值,为|yo|=
【解析】
(1)将(0,)代入抛物线y=ax2+bx+c中即可;
(2)先求n的值,再将点的坐标(m-b,m2-mb+n)代入y=ax2+bx+c中,计算△>0即可;
(3)先根据公式分别求抛物线的对称轴和最小值,分四种情况进行讨论:
①当<-1,即b>2时,如图1,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,yo),在x轴下方与x轴距离最大的点是(-1,yo),代入抛物线的解析式中分别求|H|和|h|,作判断即可;
②当-1≤≤0,即0≤b≤2时,如图2,
③当0<≤1,即-2≤b<0时,如图3,
④当1<,即b<-2时,如图4,
根据图象分别求其y0的取值范围,可得结论.
解:(1)∵(0,)在y=ax2+bx+c上,
∴=a×02+b×0+c,
∴c=;
(2)又可得 n=,
∵点(m﹣b,m2﹣mb+n)在y=ax2+bx+c上,
∴m2﹣mb=a(m﹣b)2+b(m﹣b),
∴(a﹣1)(m﹣b)2=0,
若(m﹣b)=0,则(m﹣b,m2﹣mb+n)与(0,)重合,与题意不合,
∴a=1,
∴抛物线y=ax2+bx+c,就是y=x2+bx﹣,
△=b2﹣4ac=b2﹣4×()=b2+2>0,
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点;
(3)抛物线y=x2+bx的对称轴为,最小值为,
设抛物线y=x2+bx在x轴上方与x轴距离最大的点的纵坐标为H,在x轴下方与x轴距离最大的点的纵坐标为h,
①当<﹣1,即b>2时,如图1,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,yo),
∴|H|=yo=+b>,
在x轴下方与x轴距离最大的点是(﹣1,yo),
∴|h|=|yo|=|﹣b|=b﹣>,
∴|H|>|h|,
∴这时|yo|的最小值大于;
②当﹣1≤≤0,即0≤b≤2时,如图2,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,yo),
∴|H|=yo=+b≥,当b=0时等号成立.
在x轴下方与x轴距离最大的点是,
∴|h|=||=≥,当b=0时等号成立.
∴这时|yo|的最小值等于.
③当0<≤1,即﹣2≤b<0时,如图3,在x轴上方与x轴距离最大的点是
(﹣1,yo),
∴|H|=yo=1+(﹣1)b﹣=﹣b>,在x轴下方与x轴距离最大的点是 ,
∴|h|=|yo|=||=>.
∴这 时|yo|的 最 小 值 大 于.
④当1<,即b<﹣2时,如图4,在x轴上方与x轴距离最大的点是(﹣1,yo),
∴|H|=﹣b>,在x轴下方与x轴距离最大的点是(1,yo),
∴|h|=|+b|=﹣(b+)>,
∴|H|>|h|,
∴这时|yo|的最小值大于,
综上所述,当b=0,x0=0时,这时|yo|取最小值,为|yo|=.