题目内容
【题目】 (1)、问题:如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°.求证:AD·BC=AP·BP.
(2)、探究:如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立?说明理由.
(3)、应用:请利用(1)(2)获得的经验解决问题:
如图3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5.点P以每秒1个单位长度的速度,由点A 出发,沿边AB向点B运动,且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t(秒),当DC的长与△ABD底边上的高相等时,求t的值.
【答案】(1)、证明过程见解析;(2)、证明过程见解析;(3)、t=1秒或5秒.
【解析】
试题分析:(1)、根据∠DPC=∠A=∠B=90°得出∠ADP+∠APD=∠BPC+∠APD=90°,则∠ADP=∠BPC,从而得出△ADP和△BPC相似,从而得出答案;(2)、根据同样的证明方法得出三角形相似,从而得出答案;(3)、过点D作DE⊥AB于点E,则AE=BE=3,根据勾股定理得出DE=4,设AP=t,则BP=6-t,根据(1)(2)的定理列出关于t的方程,从而求出t的值.
试题解析:(1)、如图1 ∵∠DPC=∠A=∠B=90°,∴∠ADP+∠APD=90°,
∠BPC+∠APD=90°,∴∠ADP =∠BPC ∴△ADP∽△BPC.∴即AD·BC=AP·BP.
(2)、结论AD·BC=AP·BP 仍成立.
理由:如图2,∵∠BPD=∠DPC+∠BPC. 又∵∠BPD=∠A+∠ADP.∴∠DPC+∠BPC =∠A+∠ADP.
∵∠DPC =∠A=θ.∴∠BPC =∠ADP 又∵∠A=∠B=θ.∴△ADP∽△BPC.∴
∴AD·BC=AP·BP.
(3)、如图3,过点D作DE⊥AB于点E.∵AD=BD=5,AB=6. ∴AE=BE=3.由勾股定理得DE=4.
∴DC=DE=4.∴BC=5-4=1,又∵AD=BD,∴∠A=∠B.由已知,∠DPC =∠A,∴∠DPC =∠A=∠B.
由(1)、(2)可得:AD·BC=AP·BP. 又AP=t,BP=6-t,∴t(6-t)=5×1.
解得t1=1,t2=5. ∴t的值为1秒或5秒.