题目内容

【题目】 (1)、问题:如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,DPC=A=B=90°.求证:AD·BC=AP·BP.

(2)、探究:如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当DPC=A=B=θ时,上述结论是否依然成立?说明理由.

(3)、应用:请利用(1)(2)获得的经验解决问题:

如图3,在ABD中,AB=6,AD=BD=5.点P以每秒1个单位长度的速度,由点A 出发,沿边AB向点B运动,且满足DPC=A.设点P的运动时间为t(秒),当DC的长与ABD底边上的高相等时,求t的值.

【答案】(1)、证明过程见解析;(2)、证明过程见解析;(3)、t=1秒或5秒.

【解析】

试题分析:(1)、根据DPC=A=B=90°得出ADP+APD=BPC+APD=90°,则ADP=BPC,从而得出ADP和BPC相似,从而得出答案;(2)、根据同样的证明方法得出三角形相似,从而得出答案;(3)、过点D作DEAB于点E,则AE=BE=3,根据勾股定理得出DE=4,设AP=t,则BP=6-t,根据(1)(2)的定理列出关于t的方程,从而求出t的值.

试题解析:(1)、如图1 ∵∠DPC=A=B=90°∴∠ADP+APD=90°

BPC+APD=90°∴∠ADP =BPC ∴△ADP∽△BPC.即AD·BC=AP·BP.

(2)、结论AD·BC=AP·BP 仍成立.

理由:如图2,∵∠BPD=DPC+BPC. ∵∠BPD=A+ADP.∴∠DPC+BPC =A+ADP.

∵∠DPC =A=θ∴∠BPC =ADP ∵∠A=B=θ∴△ADP∽△BPC.

AD·BC=AP·BP.

(3)、如图3,过点D作DEAB于点E.AD=BD=5,AB=6. AE=BE=3.由勾股定理得DE=4.

DC=DE=4.BC=5-4=1,又AD=BD,∴∠A=B.由已知,DPC =A,∴∠DPC =A=B.

由(1)、(2)可得:AD·BC=AP·BP. 又AP=t,BP=6-t,t(6-t)=5×1.

解得t1=1,t2=5. t的值为1秒或5秒.

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