Question

如图，抛物线y=2x²-4mx+m²-1经过原点，且对称轴在y轴的右侧与直线y=-x+m+2相交于M、N两点．
（1）求m的值；
（2）求抛物线和直线的解析式；
（3）如果（2）中抛物线的对称轴与直线交于C点，与x轴交于B点，直线与x轴交于A点，P为抛物线对称轴上一动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D．请问：点P分别在x轴上方或下方时，是否存在这样的位置，使S_△PAD=

1

4

S_△ABC？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于抛物线过原点，那么m²-1=0，由此可求出m的值，根据对称轴在y轴的右侧可将不合题意的m值舍去．
（2）根据（1）的m的值即可求出抛物线和直线的解析式．
（3）用点到直线距离公式，设P（1，t），CP=|2-t|，结合面积之间的关系求出P点坐标．

解答：解：（1）因为抛物线经过原点，
所以m²-1=0，m=±1，
而对称轴在y轴右边，
所以x=-

b

2a

=

4m

4

=m＞0，
所以m=1．

（2）抛物线的解析式为y=2x²-4x，直线的解析式为y=-x+3．

（3）存在．设P（1，t），CP=|2-t|
PD=

2

2

CP
设PD的表达式y=x+b，代入P，求出b=t-1
所以y=x+（t-1），
用点到直线距离公式算AD=

2

2

|2+t|
S_△PAD=

1

2

PD•AD
P₁（1，

6

） P₂（1，-

6

） P₃（1，

2

） P₄（1，-

2

）．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、二次函数的性质、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．