题目内容
(2012•和平区模拟)如图,抛物线y=x2-2x+a(a<0)与y轴相交于点A,顶点为M直线y=
x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点,并且与直线AM相交于点N.
(1)填空:试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标,则M
(2)若点N关于y轴的对称点N′恰好落在抛物线上,求此时抛物线的解析式;
(3)在抛物线y=x2-2x+a(a<0)上是否存在点P.使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,试说明理由.
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(1)填空:试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标,则M
(1,a-1)
(1,a-1)
,N(
a,-
a)
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(
a,-
a)
;4 |
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(2)若点N关于y轴的对称点N′恰好落在抛物线上,求此时抛物线的解析式;
(3)在抛物线y=x2-2x+a(a<0)上是否存在点P.使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,试说明理由.
分析:(1)已知了抛物线的解析式,不难用公式法求出M的坐标为(1,a-1).由于抛物线过A点,因此A的坐标是(0,a).根据A,M的坐标,用待定系数法可得出直线AM的解析式为y=-x+a.直线AM和y=
x-a联立方程组即可求出N的坐标为(
a,-
a).
(2)根据折叠的性质不难得出N与N′正好关于y轴对称,因此N′的坐标为(-
a,-
a).由于N′在抛物线上,因此将N′的坐标代入抛物线的解析式中即可得出a的值.
(3)本题可分两种情况进行讨论:
①当P在y轴左侧时,如果使以P,N,A,C为顶点的四边形为平行四边形,那么P需要满足的条件是PN平行且相等于AC,也就是说,如果N点向上平移AC个单位即-2a后得到的点就是P点.然后将此时P的坐标代入抛物线中,如果没有解说明不存在这样的点P,如果能求出a的值,那么即可求出此时P的坐标.
②当P在y轴右侧时,P需要满足的条件是PN与AC应互相平分(平行四边形的对角线互相平分),那么NP必过原点,且关于原点对称.那么可得出此时P的坐标,然后代入抛物线的解析式中按①的方法求解即可.
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(2)根据折叠的性质不难得出N与N′正好关于y轴对称,因此N′的坐标为(-
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(3)本题可分两种情况进行讨论:
①当P在y轴左侧时,如果使以P,N,A,C为顶点的四边形为平行四边形,那么P需要满足的条件是PN平行且相等于AC,也就是说,如果N点向上平移AC个单位即-2a后得到的点就是P点.然后将此时P的坐标代入抛物线中,如果没有解说明不存在这样的点P,如果能求出a的值,那么即可求出此时P的坐标.
②当P在y轴右侧时,P需要满足的条件是PN与AC应互相平分(平行四边形的对角线互相平分),那么NP必过原点,且关于原点对称.那么可得出此时P的坐标,然后代入抛物线的解析式中按①的方法求解即可.
解答:解:(1)∵y=x2-2x+a=(x-1)2-1+a,
∴顶点M的坐标为;(1,a-1),
由于抛物线过A点,因此A的坐标是(0,a).
设直线AM的解析式为y=kx+b,
则
,
解得:
,
则直线AM的解析式为:y=-x+a.
直线AM和y=
x-a联立方程组,
,
解得:
,
即可求出N的坐标为(
a,-
a).
(2)∵由题意得点N与点N′关于y轴对称,
∴N′(-
a,-
a).
将N′的坐标代入y=x2-2x+a得:
-
a=
a2+
a+a,
∴a1=0(不合题意,舍去),a2=-
.
∴此时抛物线的解析式为:y=x2-2x-
;
(3)存在,理由如下:
当点P在y轴的左侧时,若四边形ACPN是平行四边形,则PN平行且等于AC,
由A(0,a),C(0,-a),得AC=-2a,
则把N向上平移-2a个单位得到P,坐标为(
a,-
a),代入抛物线的解析式,
得:-
a=
a2-
a+a,
解得a1=0(不舍题意,舍去),a2=-
,
则P(-
,
);
当点P在y轴的右侧时,若四边形APCN是平行四边形,则AC与PN互相平分,
由A(0,a),C(0,-a),则OA=OC,OP=ON.
则P与N关于原点对称,
则P(-
a,
a);
将P点坐标代入抛物线解析式得:
a=
a2+
a+a,
解得a1=0(不合题意,舍去),a2=-
,
则P(
,-
).
故存在这样的点P1(-
,
)或P2(
,-
),能使得以P,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形.
故答案为:(1,a-1),(
a,-
a).
∴顶点M的坐标为;(1,a-1),
由于抛物线过A点,因此A的坐标是(0,a).
设直线AM的解析式为y=kx+b,
则
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解得:
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则直线AM的解析式为:y=-x+a.
直线AM和y=
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解得:
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即可求出N的坐标为(
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(2)∵由题意得点N与点N′关于y轴对称,
∴N′(-
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将N′的坐标代入y=x2-2x+a得:
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∴a1=0(不合题意,舍去),a2=-
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∴此时抛物线的解析式为:y=x2-2x-
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(3)存在,理由如下:
当点P在y轴的左侧时,若四边形ACPN是平行四边形,则PN平行且等于AC,
由A(0,a),C(0,-a),得AC=-2a,
则把N向上平移-2a个单位得到P,坐标为(
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得:-
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解得a1=0(不舍题意,舍去),a2=-
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则P(-
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当点P在y轴的右侧时,若四边形APCN是平行四边形,则AC与PN互相平分,
由A(0,a),C(0,-a),则OA=OC,OP=ON.
则P与N关于原点对称,
则P(-
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将P点坐标代入抛物线解析式得:
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解得a1=0(不合题意,舍去),a2=-
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则P(
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故存在这样的点P1(-
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故答案为:(1,a-1),(
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点评:本题主要考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质等重要知识点,综合性强,能力要求较高.考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.
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