题目内容

【题目】ABC中,AB=AC,BAC=100°,点D在BC边上,ABD和AFD关于直线AD对称,FAC的平分线交BC于点G,连接FG.

(1)求DFG的度数;

(2)设BAD=θ,

当θ为何值时,DFG为等腰三角形;

DFG有可能是直角三角形吗?若有,请求出相应的θ值;若没有,请说明理由.

【答案】(1)80°;(2)10°,25°或40°5°或45°.

【解析】

试题分析:(1)由轴对称可以得出ADB≌△ADF,就可以得出B=AFD,AB=AF,在证明AGF≌△AGC就可以得出AFG=C,就可以求出DFG的值;

(2)当GD=GF时,就可以得出GDF80°,根据ADG=40+θ,就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出结论;当DF=GF时,就可以得出GDF=50°,就有40°+50°+40°+2θ=180°,当DF=DG时,GDF=20°,就有40°+20°+40°+2θ=180°,从而求出结论;

由已知条件可以得出DFG=80°,当GDF=90°时,就有40°+90°+40°+2θ=180°就可以求出结论,当DGF=90°时,就有GDF=10°,得出40°+10°+40°+2θ=180°求出结论.

试题解析:(1)AB=AC,BAC=100°,

∴∠B=C=40°.

∵△ABD和AFD关于直线AD对称,

∴△ADB≌△ADF,

∴∠B=AFD=40°,AB=AFBAD=FAD=θ,

AF=AC.

AG平分FAC,

∴∠FAG=CAG.

AGF和AGC中,

AF=AC,FAG=CAG,AG=AG,

∴△AGF≌△AGC(SAS),

∴∠AFG=C.

∵∠DFG=AFD+AFG,

∴∠DFG=B+C=40°+40°=80°.

答:DFG的度数为80°;

(2)当GD=GF时,

∴∠GDF=GFD=80°.

∵∠ADG=40°+θ,

40°+80°+40°+θ+θ=180°,

θ=10°.

当DF=GF时,

∴∠FDG=FGD.

∵∠DFG=80°,

∴∠FDG=FGD=50°.

40°+50°+40°+2θ=180°,

θ=25°.

当DF=DG时,

∴∠DFG=DGF=80°,

∴∠GDF=20°,

40°+20°+40°+2θ=180°,

θ=40°.

当θ=10°,25°或40°时,DFG为等腰三角形;

GDF=90°时,

∵∠DFG=80°,

40°+90°+40°+2θ=180°,

θ=5°.

DGF=90°时,

∵∠DFG=80°,

∴∠GDF=10°,

40°+10°+40°+2θ=180°,

θ=45°

当θ=5°或45°时,DFG为直角三角形.

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