题目内容
在平面直角坐标系中,直线(k为常数且k≠0)分别交x轴、y轴于点A、B,⊙O半径为个单位长度.
⑴如图甲,若点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,且OA=OB.
①求k的值;
②若b=4,点P为直线上的动点,过点P作⊙O的切线PC、PD,切点分别为C、D,当PC⊥PD时,求点P的坐标.
⑵若,直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2,求b的值.(图乙供选用)
(1)
①k=-1
②P的坐标为(1,3)或(3,1)
(2)b的值为或
解析:⑴①根据题意得:B的坐标为(0,b),∴OA=OB=b,
∴A的坐标为(b,0),代入y=kx+b得k=-1.
②过P作x轴的垂线,垂足为F,连结OD.
∵PC、PD是⊙O的两条切线,∠CPD=90°,
∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°,
∵∠PDO=90°,,∠POD=∠OPD=45°,
∴OD=PD=,OP=.
∵P在直线y=-x+4上,
设P(m,-m+4),则OF=m,PF=-m+4,
∵∠PFO=90°, OF2+PF2=PO2,
∴ m2+ (-m+4)2=()2,
解得m=1或3,
∴P的坐标为(1,3)或(3,1)
⑵分两种情形,y=-x+,或y=-x-。
直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2,可知其所对圆心角为120°,
如图,画出弦心距OC,可得弦心距OC=,
又∵直线中∴直线与x轴交角的正切值为,即,∴AC=,进而可得AO=,即直线与与x轴交于点(,0).
所以直线与y轴交于点(,0),所以b的值为.
当直线与x轴、y轴的负半轴相交,同理可求得b的值为.
综合以上得:b的值为或.
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