Question

【题目】如图1，两个全等的△ABC和△DEF中，∠ACB=∠DFE=90°，AB=DE，其中点B和点D重合，点F在BC上，将△DEF沿射线BC平移，设平移的距离为x，平移后的图形与△ABC重合部分的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示（其中0≤x≤m，m＜x≤3，3＜x≤4时，函数的解析式不同）

（1）填空：BC的长为 ；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）4（2）

【解析】

试题分析：（1）通过图2观察可知y=0时x=4，即D点从B运动到C平移的距离为4；

（2）当△DEF在平移过程中，与△ABC的重合部分有三种情况，将三种图形分别画出，通过作辅助线构造相似三角形，通过相似三角形对应边的关系，将各边用x表示出来，即可以列出y与x的函数关系式．

试题解析：（1）由图2得当x=4时，y=0，说明此时△DEF与△ABC无重合部分，

则点D从B到C运动的距离为4，即BC=4；

故答案为：4．

（2）当DE经过点A时（如图1），BD=3，CD=1，

∵△ABC≌△DEF．

∴∠EDF=∠BAC．

∵∠ACD=∠BCA

∴△ADC∽△BAC．

∴，

即．

AC=2

∴n=2

当0≤x≤2时（如图2），

设ED、EF与AB分别相交于点M，G，作MN⊥BC，垂足为N．

则∠MNB=90°=∠EFD=∠C．

∵∠MDN=∠EDF．

∴△DMN∽△DEF．

∴，

即．

∴MN=2DN．

设DN=n，则MN=2n．

同理△BMN∽△BAC．

∴．

即，

∴BN=4n，即x+n=4n．

∴n=x．

∴S△BDM=BDMN=

同理△BGF∽△BAC

∴，

即．

∴GF=，

∴y==．

当2＜x≤3时（如图3），

由①知， =x2．

∴y= =

当3＜x≤4时（如图4），

设DE与AB相交于点H．

同理△DHC∽△DEF．

∴，

即

∴HC=24﹣x．

∴y==x2﹣8x+16

∴．