Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是边AC上一动点（不与端点A、C重合），过动点D的直线l与射线AB相交于点E，与射线BC相交于点F，
（1）设CD=1，点E在边AB上，△ADE与△ABC相似，求此时BE的长度．
（2）如果点E在边AB上，以点E、B、F为顶点的三角形与以点E、A、D为顶点的三角形相似，设CD=x，BF=y，求y与x之间的函数解析式并写出函数的定义域．
（3）设CD=1，以点E、B、F为顶点的三角形与以点E、A、D为顶点的三角形相似，求S_△EBF：S_△EAD的值．

Answer 1

分析：（1）小题由已知△ADE和△ABC相似得出比例式就能求出BE；（2）小题利用点E、B、F为顶点的三角形与以点E、A、D为顶点的三角形相似得到比例式即可求出x y的关系式；（3）小题首先进行分类（图（2）图（3）），分别证出两三角形相似，进而得到比例式求出答案．

解答：解：（1）在△ABC中∠ACB=90°，由勾股定理得：AB=5，
∵要使△ADE与△ABC相似，∠A=∠A，且与与射线AB相交于点E，与射线BC相交于点F，
∴必须

AD

AB

=

AE

AC

，
解得AE=

12

5

，
∴BE=

13

5

答案为：BE的长度是

13

5

．

（2）如图，过点D的直线l交线段AB于点E，
交BC的延长线于点F，
∵∠A≠∠B，∠2≠∠A，
如果△BEF与△EAD相似，那么只能∠1=∠A，
又∵∠ACF=∠ACB=90°，∠1=∠A，
∴△FDC∽△ABC，
∴

CD

CB

=

CF

CA

，
∴

x

3

=

y-3

4

，
∴y=

4x+9

3

（0＜x＜4），
答案为：y与x之间的函数解析式是；y=

4x+9

3

，函数的定义域是：0＜x＜4．

（3）如图，当直线l交线段AB于点E，交BC的延长线于点F时，CD=1时，BF=

13

3

，AD=3，
由△EBF∽△EDA得S_△EBF：S_△EAD=(

BF

AD

)2=

169

81

，
如图，当直线l交线段AB的延长线于点E、交线段BC于点F时，CD=1，AD=3，
由∠1=∠A得△EBF∽△EDA，
进而，由△FDC∽△ABC，得

CD

CB

=

CF

CA

，
由

1

3

=

CF

4

，得CF=

4

3

，
∴BF=

5

3

，
由△EBF∽△EDA得：S_△EBF：S_△EAD=(

BF

AD

)2=

25

81

，
综上所述，S_△EBF：S_△EAD的值等于

169

81

或

25

81

．

点评：（1）（2）小题主要考查对相似三角形的性质的理解和掌握，（3）小题是相似三角形的性质和判定的综合运用，关键是找出相似的条件判断两三角形相似，进而利用相似的性质求出BF AD 的长度，即可得到答案．题型很好但难度较大．