题目内容
【题目】综合与探究
如图，抛物线y=﹣
x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其对称轴与抛物线交于点D．与x轴交于点E．
（1）求点A，B，D的坐标；
（2）点G为抛物线对称轴上的一个动点，从点D出发，沿直线DE以每秒2个单位长度的速度运动，过点C作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（点M在点N的左边）．
设点G的运动时间为ts．
①当t为何值时，以点M，N，B，E为顶点的四边形是平行四边形；
②连接BM，在点G运动的过程中，是否存在点M．使得∠MBD=∠EDB，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点Q为坐标平面内一点，以线段MN为对角线作萎形MENQ，当菱形MENQ为正方形时，请直接写出t的值．
【答案】（1）A（﹣2，0），B（6，0）；D（2，8）；（2）①见解析；②存在,理由见解析;
（3）t=
．
【解析】分析：（1）令y=0，解方程﹣
x2+2x+6=0，即可求出A、B点的坐标，把y=﹣x2+2x+6改写成顶点式，根据二次函数的性质求出D点的坐标；
（2）①要使四边形MEBN为平行四边形，则MN=BE=4，根据二次函数的对称性求出点M的坐标，从而求出DG的长，由DG=2t可求出t的值；②设BM交DE于P，如图，设P（2，m），在Rt△BEP中，根据PE2+BE2=PB2，列方程求出m的值，用待定系数法求出直线BP的解析式，与二次函数解析式联立，可求出点M的坐标；
（3）由正方形的性质得GN=GE=8﹣2t，从而表示出点N的坐标，把点N的坐标代入二次函数解析式求出t的值.
详解：（1）当y=0时，﹣
x2+2x+6=0，解得x1=﹣2，x2=6，则A（﹣2，0），B（6，0）；
∵y=﹣（x﹣2）2+8，
∴D（2，8）；
（2）①∵E（2，0），B（6，0），
∴BE=4，
∵四边形MEBN为平行四边形，
∴MN=BE=4，
∵MN∥x轴，
∴MG=NG=2，
∴M点的横坐标为0，此时M（0，6）
∴2t=8﹣6，解得t=1，
∴当t为1s时，以点M，N，B，E为顶点的四边形是平行四边形；
②存在．
设BM交DE于P，如图，设P（2，m）
∵∠MBD=∠EDB，
∴PD=PB=8﹣m，
在Rt△BEP中，∵PE2+BE2=PB2，
∴m2+42=（8﹣m）2，解得m=5，
∴P（2，3），
设直线BP的解析式为y=px+q，
把B（6，0），P（2，3）代入得
，解得
，
∴直线BP的解析式为y=﹣
x+
，
解方程组
得
或
，
∴M点的坐标为（﹣，
）；
（3）GE=8﹣2t，
∵菱形MENQ为正方形时，
∴GN=GE=8﹣2t，
∴N（10﹣2t，8﹣2t），
把N（10﹣2t，8﹣2t）代入y=﹣
x2+2x+6得﹣（10﹣2t）2+2（10﹣2t）+6=8﹣2t，
整理得t2﹣9t+16，
∴t=
．
