Question

18．如图，△ABC中，∠BAC的角平分线AD和线段BC的垂直平分线FD相交于点D，DE⊥AC于点E．
求证：AB+AC=2AE．

Answer 1

分析 连接DB、DC，作DM⊥AB于M．根据HL证出Rt△DMB≌Rt△DNC，Rt△ADM≌△ADE即可．

解答 证明：连接DB、DC，作DM⊥AB于M．

∵FD是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DE⊥AC，
∴DM=DE，∠DMB=∠CED=90°，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DC}\\{DM=DE}\end{array}\right.$
∴Rt△DMB≌Rt△DEC（HL），
∴BM=CE，
在Rt△ADM和Rt△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DM=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△ADE，
∴AM=AE，
∴AB+AC=（AM-BM）+（AE+EC）=2AE．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线性质，角平分线的性质的应用，解题的关键是灵活运用所学知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．