Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，且AC=2，则梯形ABCD的周长等于________．

Answer 1

10
分析：由AB∥CD，∠DAB=60°得到∠DCB和∠CDA的度数，进一步求出∠ACB和∠DAC的度数，设BC=x根据勾股定理可求出AB、BC的长度，即可求出答案．
解答：∵AB∥CD，∠DAB=60°，AD=BC
∴∠CDA=180°-60°=120°，
∴∠DCB=∠CDA=120°，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC=∠DAC=×60°=30°，
∴∠DCA=∠BAC=30°，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AC=2，设BC=x，则AB=2x，
由勾股定理得：x²+=（2x）²，
解得x=2，2x=4，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴AD=DC=BC=2，
即梯形ABCD的周长是2+2+2+4=10．
故答案为：10．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，平行线的性质，勾股定理等知识点，求出∠ACB的度数和BC的长度是解此题的关键．