Question

如图所示，过半径为6cm的⊙O外一点P引圆的切线PA，PB，连接PO交⊙O于F，过F作⊙O的切线，交PA，PB分别于D，E，如果PO=10cm，∠APB=40°．
求：（1）△PED的周长；（2）∠DOE的度数．

Answer 1

解：如右图所示

（1）连接AO，则OA⊥PA，PA==8，
∵PA，PB为切线，A，B为切点，EF，EB，DF，DA均与⊙O相切，
∴PA=PB，DA=DF，FE=BE，
∴△PED的周长=PE+EF+FD+PD=PA+PB=2PA=16（cm），
即△PED的周长为16cm；

（2）由切线长性质知：∠AOD=∠DOF，∠EOF=∠EOB，
∴∠DOE=∠AOB=（180°-∠APB）=（180°-40°）=70°．
分析：（1）根据切线长定理，判断出DF=DA，EF=EB，△PED的周长转化为PA+PB，只要求出切线AP的长即可；
（2）根据切线长定理解出∠DOE=∠AOB，再根据四边形的内角和是360度解答．
点评：此题比较复杂，结合了切线长定理，角平分线的性质，要反复运用切线长定理，将问题转化为勾股定理和角平分线的性质解答．