Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边OA在x轴的正半轴上，∠OBA=90°，且tan∠AOB= ，OB=2 ，反比例函数y= 的图象经过点B．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△AMB与△AOB关于直线AB对称，一次函数y=mx+n的图象过点M、A，求一次函数的表达式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：过点B作BD⊥OA于点D，

设BD=a，

∵tan∠AOB= = ，

∴OD=2BD．

∵∠ODB=90°，OB=2 ，

∴a2+（2a）2=（2 ）2，

解得a=±2（舍去﹣2），

∴a=2．

∴OD=4，

∴B（4，2），

∴k=4×2=8，

∴反比例函数表达式为：y=

（2）

解：∵tan∠AOB= ，OB=2 ，

∴AB= OB= ，

∴OA= = =5，

∴A（5，0）．

又△AMB与△AOB关于直线AB对称，B（4，2），

∴OM=2OB，

∴M（8，4）．

把点M、A的坐标分别代入y=mx+n，得

，

解得 ，

故一次函数表达式为：y= x﹣ ．

【解析】（1）过点B作BD⊥OA于点D，设BD=a，通过解直角△OBD得到OD=2BD．然后利用勾股定理列出关于a的方程并解答即可；（2）欲求直线AM的表达式，只需推知点A、M的坐标即可．通过解直角△AOB求得OA=5，则A（5，0）．根据对称的性质得到：OM=2OB，结合B（4，2）求得M（8，4）．然后由待定系数法求一次函数解析式即可．
【考点精析】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点，需要掌握解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)才能正确解答此题．