Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左则，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，―3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点。

⑴求这个二次函数的表达式；
⑵连结PO、PC，在同一平面内把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
⑶当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

Answer 1

(1);(2) (3) P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为.

试题分析：（1）把B、C两点的坐标代入二次函数y=x²+bx+c即可求出bc的值，故可得出二次函数的解析式；
（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，设P（x，x²-2x-3），易得，直线BC的解析式为y=x-3则Q点的坐标为（x，x-3），再根据S_{四边形ABPC}=S_△ABC+S_△BPQ+S_△CPQ即可得出结论．
试题解析：⑴将B、C两点坐标代入得
解得：. 所以二次函数的表示式为： 
⑵存在点P，使四边形POP′C为菱形，设P点坐标为，PP′交CO于E，
若四边形POP′C是菱形，则有PC＝PO，连结PP′，则PE⊥OC于E，
∴OE＝EC＝，
∴
∴，
解得，（不合题意,舍去）
∴P点的坐标为
⑶过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P，易得，直线BC的解析式为,则Q点的坐标为






当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为.
考点: 二次函数综合题．