Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过 上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．
（1）求证：△ECF∽△GCE；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG= ，AH=3 ，求EM的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1中，

∵AC∥EG，

∴∠G=∠ACG，

∵AB⊥CD，

∴ = ，

∴∠CEF=∠ACD，

∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，

∴△ECF∽△GCE

（2）证明：如图2中，连接OE，

∵GF=GE，

∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA，

∵∠AFH+∠FAH=90°，

∴∠GEF+∠AEO=90°，

∴∠GEO=90°，

∴GE⊥OE，

∴EG是⊙O的切线

（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．

在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G= = ，

∵AH=3 ，

∴HC=4 ，

在Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r﹣3 ，HC=4 ，

∴（r﹣3 ）2+（4 ）2=r2，

∴r= ，

∵GM∥AC，

∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，

∴△AHC∽△MEO，

∴ = ，

∴ = ，

∴EM=

【解析】（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出 = ，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得 = ，由此即可解决问题；