Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．

（1）求证：AD=DE；
（2）若CE=2，求线段CD的长；
（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC
∵AB=BC，
∴BD是等腰△ABC中线，
∴AD=DE；
（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，
∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴ ，
∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，
∴CD= ；
（3）解：延长EF交⊙O于M，

在Rt△ABD中，AD= ，AB=10，
∴BD=3 ，
∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴ ，
∴∠BEP=∠EDB，
∴△BPE∽△BED，
∴ ，
∴BP= ，
∴DP=BD-BP= ，
∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32，
∵S△BCD= × ×3 =15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，
∴S△BDE=12，
∴S△DPE= ．
【解析】（1）根据已知条件AB是⊙O的直径得出∠ADB=90°，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可得出结论。
（2）根据圆内接四边形的性质证得∠CED=∠CAB，再根据相似三角形的判定证出△CED∽△CAB，得出对应边成比例，建立关于CD的方程，即可求出CD的长。
（3）延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，再证明△BPE∽△BED，根据相似三角形的性质得对应边成比例求出BP的长，然后根据等高的三角形的面积之比等于对边之比，再由三角形面积公式即可求解。