题目内容

【题目】1)如图1,将直角的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上,使角的一边交CD于点F,另一边交CB或其延长线于点G,求证:EF=EG

2)如图2,将(1)中的正方形ABCD”改成矩形ABCD”,其他条件不变.若AB=mBC=n,试求的值;

3)如图3,将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点,EFEG分别交CDCB于点FG,且EC平分FEG.若AB=2BC=4,求EGEF的长.

考点:四边形综合题.

【答案】

【解析】

试题分析:1)首先过点E分别作BCCD的垂线,垂足分别为HP,然后利用ASA证得RtFEPRtGEH,则问题得证;

2)首先过点E分别作BCCD的垂线,垂足分别为MN,易证得EMABENAD,则可证得CEN∽△CADCEM∽△CAB,又由有两角对应相等的三角形相似,证得GME∽△FNE,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得答案;

3)过点EEMBCM,过点EENCDN,垂足分别为MN,过点CCPEGEG的延长线于点P,过点CCQEF垂足为Q,可得四边形EPCQ是矩形,四边形EMCN是矩形,可得EC平分FEG,可得矩形EPCQ是正方形,然后易证PCG≌△QCFAAS),进而可得:CG=CF,由(2)知:==2,进而可得:EF=2EG,然后易证EMEN分别是ABCBCD的中位线,进而可得:EM=1EN=2MC=2CN=1,然后易证EMG∽△ENF,进而可得,即NF=2MG,然后设MG=x,根据CG=CF,列出方程即可解出x的值,即MG的值,然后在RtEMG中,由勾股定理即可求出EG的值,进而可得EF的值.

1)证明:如图1,过点EEHBCH,过点EEPCDP

四边形ABCD为正方形,

CE平分BCD

EHBCEPCD

EH=EP

四边形EHCP是正方形,

∴∠HEP=90°

∵∠GEH+HEF=90°PEF+HEF=90°

∴∠PEF=GEH

RtFEPRtGEH

EF=EG

2)解:如图2,过点EEMBCM,过点EENCDN,垂足分别为MN

MEN=90°

EMABENAD

∴△CEN∽△CADCEM∽△CAB

3)解:如图3

过点EEMBCM,过点EENCDN,垂足分别为MN

过点CCPEGEG的延长线于点P,过点CCQEF垂足为Q

则四边形EPCQ是矩形,四边形EMCN是矩形,

EC平分FEG

CQ=CP

矩形EPCQ是正方形,

∴∠QCP=90°

∴∠QCG+PCG=90°

∵∠QCG+QCF=90°

∴∠PCG=QCF

PCGQCF中,

∴△PCG≌△QCFAAS),

CG=CF

由(2)知:=

BC=4AB=2

==2

EF=2EG

E放在矩形ABCD的对角线交点,

EMEN分别是ABCBCD的中位线,

EM=AB=1EN=AD==2MC=CN=

四边形EMCN是矩形,

∴∠NEM=90°

∴∠MEG+GEN=90°

∵∠GEF=90°

∴∠FEN+GEN=90°

∴∠MEG=FEN

∵∠EMG=FNE=90°

∴△EMG∽△ENF

NF=2MG

MG=x,则NF=2xCG=2﹣xCF=1+2x

CG=CF

2﹣x=1+2x

解得:x=

MG=

RtEMG中,由勾股定理得:

EG==

EF=2EG

EF=

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网