题目内容
【题目】(1)如图1,将直角的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上,使角的一边交CD于点F,另一边交CB或其延长线于点G,求证:EF=EG;
(2)如图2,将(1)中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”,其他条件不变.若AB=m,BC=n,试求的值;
(3)如图3,将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点,EF、EG分别交CD与CB于点F、G,且EC平分∠FEG.若AB=2,BC=4,求EG、EF的长.
考点:四边形综合题.
【答案】
【解析】
试题分析:(1)首先过点E分别作BC、CD的垂线,垂足分别为H、P,然后利用ASA证得Rt△FEP≌Rt△GEH,则问题得证;
(2)首先过点E分别作BC、CD的垂线,垂足分别为M、N,易证得EM∥AB,EN∥AD,则可证得△CEN∽△CAD,△CEM∽△CAB,又由有两角对应相等的三角形相似,证得△GME∽△FNE,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得答案;
(3)过点E作EM⊥BC于M,过点E作EN⊥CD于N,垂足分别为M、N,过点C作CP⊥EG交EG的延长线于点P,过点C作CQ⊥EF垂足为Q,可得四边形EPCQ是矩形,四边形EMCN是矩形,可得EC平分∠FEG,可得矩形EPCQ是正方形,然后易证△PCG≌△QCF(AAS),进而可得:CG=CF,由(2)知:==2,进而可得:EF=2EG,然后易证EM和EN分别是△ABC和△BCD的中位线,进而可得:EM=1,EN=2,MC=2,CN=1,然后易证△EMG∽△ENF,进而可得,即NF=2MG,然后设MG=x,根据CG=CF,列出方程即可解出x的值,即MG的值,然后在Rt△EMG中,由勾股定理即可求出EG的值,进而可得EF的值.
(1)证明:如图1,过点E作EH⊥BC于H,过点E作EP⊥CD于P,
∵四边形ABCD为正方形,
∴CE平分∠BCD,
又∵EH⊥BC,EP⊥CD,
∴EH=EP,
∴四边形EHCP是正方形,
∴∠HEP=90°,
∵∠GEH+∠HEF=90°,∠PEF+∠HEF=90°,
∴∠PEF=∠GEH,
∴Rt△FEP≌Rt△GEH,
∴EF=EG;
(2)解:如图2,过点E作EM⊥BC于M,过点E作EN⊥CD于N,垂足分别为M、N,
则∠MEN=90°,
∴EM∥AB,EN∥AD.
∴△CEN∽△CAD,△CEM∽△CAB,
∴,,
∴,
即.
∴,
∴;
(3)解:如图3,
过点E作EM⊥BC于M,过点E作EN⊥CD于N,垂足分别为M、N,
过点C作CP⊥EG交EG的延长线于点P,过点C作CQ⊥EF垂足为Q,
则四边形EPCQ是矩形,四边形EMCN是矩形,
∵EC平分∠FEG,
∴CQ=CP,
∴矩形EPCQ是正方形,
∴∠QCP=90°,
∴∠QCG+∠PCG=90°,
∵∠QCG+∠QCF=90°,
∴∠PCG=∠QCF,
在△PCG和△QCF中,
,
∴△PCG≌△QCF(AAS),
∴CG=CF,
由(2)知:=,
∵BC=4,AB=2,
∴==2,
∴EF=2EG,
∵点E放在矩形ABCD的对角线交点,
∴EM和EN分别是△ABC和△BCD的中位线,
∴EM=AB=1,EN=AD==2,MC=,CN=,
∵四边形EMCN是矩形,
∴∠NEM=90°,
∴∠MEG+∠GEN=90°,
∵∠GEF=90°,
∴∠FEN+∠GEN=90°,
∴∠MEG=∠FEN,
∵∠EMG=∠FNE=90°,
∴△EMG∽△ENF,
∴,
即NF=2MG,
设MG=x,则NF=2x,CG=2﹣x,CF=1+2x,
∵CG=CF,
∴2﹣x=1+2x,
解得:x=,
∴MG=,
在Rt△EMG中,由勾股定理得:
EG==,
∵EF=2EG,
∴EF=.