题目内容

如图，在△ABC中，AB=2，AC=1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC交于点D，则AD的长为________．

$\text{[math]}$
分析：由以AB为直径的圆与AC相切，根据圆周角定理与切线的性质，易得∠ADB=∠CAB=90°，又由在△ABC中，AB=2，AC=1，利用勾股定理即可求得BC的长，又由∠B是公共角，可证得△ABD∽△CBA，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得AD的长．
解答：∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，AB⊥AC，
∴∠ADB=∠CAB=90°，
∵在△ABC中，AB=2，AC=1，
∴BC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
∴AD= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．