题目内容

在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A（A在O右侧），顶点为B．艾思轲同学用一把宽3cm的矩形直尺对抛物线进行如下测量：（1）量得OA=3cm，（2）当把直尺的左边与抛物线的对称抽重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合时（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5cm．
艾思轲同学将A的坐标记作（3，0），然后利用上述结论尝试完成下列各题：
（1）写出抛物线的对称轴；
（2）求出该抛物线的解析式；
（3）探究抛物线的对称轴上是否存在使△ACD周长最小的点D；
（4）然后又将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A的右边（如图2），直尺的两边交x轴于点H，G，交抛物线于E，F，探究梯形EFGH的面积S与线段EF的长度是否存在函数关系．
同学：如上述（3）（4）结论存在，请你帮艾思轲同学一起完成，如上述（3）（4）结论不存在，请你告诉艾思轲同学结论不存在的理由．

解：（1）∵抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A（A在O右侧），OA=3，
∴A点坐标为（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x= $\text{[math]}$ ；

（2）∵抛物线的对称轴为直线x= $\text{[math]}$ ，
∴可设抛物线的解析式为y=a（x- $\text{[math]}$ ）²+k，
∴顶点B的坐标为（ $\text{[math]}$ ，k）．
如图1，∵点C的横坐标为：ON= $\text{[math]}$ +3= $\text{[math]}$ ，点C在抛物线y=a（x- $\text{[math]}$ ）²+k上，
∴点C的纵坐标为a（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）²+k=9a+k．

∵MC=4.5，
∴9a+k-k=4.5，
∴a= $\text{[math]}$ ，
将A点坐标（3，0）代入y= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+k，
得 $\text{[math]}$ （3- $\text{[math]}$ ）²+k=0，解得k=- $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，即y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x；

（3）抛物线的对称轴上存在使△ACD周长最小的点D，理由如下：
如图1，连接OC，交抛物线的对称轴于点D，则△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+OD+CD=AC+OC最小．
设直线OC的解析式为y=mx，将点C的坐标（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）代入，
得 $\text{[math]}$ m= $\text{[math]}$ ，解得m= $\text{[math]}$ ，
即直线OC的解析式为y= $\text{[math]}$ x，
当x= $\text{[math]}$ 时，y= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故所求D点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；

（4）梯形EFGH的面积S与线段EF的长度存在函数关系，理由如下：
如图2，设点E横坐标为a，则E点坐标为（a， $\text{[math]}$ a²- $\text{[math]}$ a），H点坐标为（a，0），
点F横坐标为a+3，F点坐标为（a+3， $\text{[math]}$ （a+3）²- $\text{[math]}$ （a+3）），G点坐标为（a+3，0），
∵梯形EFGH的面积S= $\text{[math]}$ （EH+FG）•HG= $\text{[math]}$ [（ $\text{[math]}$ a²- $\text{[math]}$ a）+ $\text{[math]}$ （a+3）²- $\text{[math]}$ （a+3）]×3= $\text{[math]}$ a²，
又∵ $\text{[math]}$ （a+3）²- $\text{[math]}$ （a+3）-（ $\text{[math]}$ a²- $\text{[math]}$ a）=3a，EF= $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -1，
∴S= $\text{[math]}$ EF²- $\text{[math]}$ ，即S是EF长度的二次函数．
分析：（1）由抛物线过原点O及A点（3，0），根据抛物线的对称性，由中点坐标公式，即可求出抛物线的对称轴为直线x= $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ ；
（2）先由抛物线的对称轴为直线x= $\text{[math]}$ ，设抛物线的解析式为顶点式y=a（x- $\text{[math]}$ ）²+k，则顶点B的坐标为（ $\text{[math]}$ ，k），再将x= $\text{[math]}$ 代入，求出点C的纵坐标为9a+k，根据MC=4.5，求出a= $\text{[math]}$ ，然后将A点坐标（3，0）代入y= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+k，求出k=- $\text{[math]}$ ，得到抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，即y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x；
（3）由于O、A两点关于抛物线的对称轴对称，所以连接OC，交抛物线的对称轴于点D，则△ACD的周长最小．先运用待定系数法求出直线OC的解析式，再将x= $\text{[math]}$ 代入，求出y的值，即可得到D点坐标；
（4）先用含a的代数式分别表示E，H，F，G四点的坐标，得到EH与FG的长度，再根据梯形的面积公式求出S= $\text{[math]}$ a²，再运用两点之间的距离公式求出EF=3 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -1，整理后得出S= $\text{[math]}$ EF²- $\text{[math]}$ ，即S是EF长度的二次函数．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求正比例函数与二次函数的解析式，二次函数的性质，平移、轴对称的性质，梯形的面积、两点之间的距离公式，综合性较强，难度适中．根据抛物线的性质运用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键．