题目内容
【题目】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．
（1）请判断：FG与CE的数量关系和位置关系；（不要求证明）
（2）如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；
（3）如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．
【答案】（1）FG = CE， FG ∥ CE；
（2）仍然成立，证明见解析；
（3）FG = CE , FG ∥ CE仍然成立． 。
【解析】试题分析：（1）结论：FG=CE，FG∥CE．如图1中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．（2）结论仍然成立．如图2中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．（3）结论仍然成立．如图3中，设DE与FC的延长线交于点M，证明方法类似．
试题解析：（1）结论：FG=CE,FG∥CE.
理由：图1中，设DE与CF交于点M.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD,∠ABC=∠DCE=90°，
在△CBF和△DCE中，
，
∴△CBF≌△DCE，
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵∠BCF+∠DCM=90°，
∴∠CDE+∠DCM=90°，
∴∠CMD=90°，
∴CF⊥DE，
∵GE⊥DE，
∴EG∥CF，
∵EG=DE，CF=DE，
∴EG=CF，
∴四边形EGFC是平行四边形。
∴GF=EC，
∴GF=EC,GF∥EC.
(2)结论仍然成立。
理由：如图2中，设DE与CF交于点M.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD,∠ABC=∠DCE=90，
在△CBF和△DCE中，
，
∴△CBF≌△DCE，
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵∠BCF+∠DCM=90°,
∴∠CDE+∠DCM=90°，
∴∠CMD=90°，
∴CF⊥DE，
∵GE⊥DE，
∴EG∥CF，
∵EG=DE，CF=DE，
∴EG=CF，
∴四边形EGFC是平行四边形。
∴GF=EC，
∴GF=EC,GF∥EC.
(3)结论仍然成立。
理由：如图3中，设DE与FC的延长线交于点M.
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠ABC=∠DCE=90，
∴∠CBF=∠DCE=90
在△CBF和△DCE中，
，
∴△CBF≌△DCE，
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE
∵∠BCF+∠DCM=90°，
∴∠CDE+∠DCM=90°，
∴∠CMD=90°，
∴CF⊥DE，
∵GE⊥DE，
∴EG∥CF，
∵EG=DE，CF=DE，
∴EG=CF，
∴四边形EGFC是平行四边形。
∴GF=EC，
∴GF=EC,GF∥EC.
