题目内容
【题目】阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．
小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．
（1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是 AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）
参考小明思考问题的方法，解答下列问题：
（2）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；
（3）如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0＜k＜
），∠AED=∠BCD，求
的值（用含k的式子表示）．
【答案】（1）AAS；（2）AB=4；（3）
．
【解析】
试题分析：（1）作AF⊥BC，根据已知条件易得∠AFB=∠BEA，∠DAB=∠ABD，AB=AB，根据AAS可判断出△ABF≌△BAE；（2）连接AD，作CG⊥AF，易得tan∠DAE=
，再由tan∠F=tan∠DAE，求出CG，再证△DCG∽△ACE，根据相似三角形的性质即可求出AC；（3）过点D作DG⊥BC，设DG=a，在Rt△ABH，Rt△ADN，Rt△ABH中分别用a，k表示出AB=2a（k+1），BH=
a（k+1），BC=2BH=2a（k+1），CG=a（2k+1），DN=ka，最后用△NDE∽△GDC，求出AE，EC即可．
试题解析：证明：（1）如图2，
作AF⊥BC，
∵BE⊥AD，∴∠AFB=∠BEA，
在△ABF和△BAE中，
，
∴△ABF≌△BAE（AAS），
∴BF=AE
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=BC，
∴BC=2AE，
故答案为AAS
（2）如图3，
连接AD，作CG⊥AF，
在Rt△ABC中，AB=AC，点D是BC中点，
∴AD=CD，
∵点E是DC中点，
∴DE=CD=AD，
∴tan∠DAE=
=，
∵AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC中点，
∴∠ADC=90°，∠ACB=∠DAC=45°，
∴∠F+∠CDF=∠ACB=45°，
∵∠CDF=∠EAC，
∴∠F+∠EAC=45°，
∵∠DAE+∠EAC=45°，
∴∠F=∠DAE，
∴tan∠F=tan∠DAE=，
∴
，
∴CG=×2=1，
∵∠ACG=90°，∠ACB=45°，
∴∠DCG=45°，
∵∠CDF=∠EAC，
∴△DCG∽△ACE，
∴
，
∵CD=
AC，CE=CD=
AC，
∴
，
∴AC=4；
∴AB=4；
（3）如图4，
过点D作DG⊥BC，设DG=a，
在Rt△BGD中，∠B=30°，
∴BD=2a，BG=
a，
∵AD=kDB，
∴AD=2ka，AB=BD+AD=2a+2ka=2a（k+1），
过点A作AH⊥BC，
在Rt△ABH中，∠B=30°．
∴BH=a（k+1），
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BC=2BH=2a（k+1），
∴CG=BC﹣BG=a（2k+1），
过D作DN⊥AC交CA延长线与N，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAN=60°，
∴∠ADN=30°，
∴AN=ka，DN=ka，
∵∠DGC=∠AND=90°，∠AED=∠BCD，
∴△NDE∽△GDC．
∴
，
∴
，
∴NE=3ak（2k+1），
∴EC=AC﹣AE=AB﹣AE=2a（k+1）﹣2ak（3k+1）=2a（1﹣3k2），
∴
．
