题目内容

【题目】如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,点D在CO的延长线上,连接BD,已知BC=BD,AB=4,BC=2

(1)求证:BD是⊙O的切线;

(2)求CD的长.

【答案】见解析

【解析】试题分析:(1)由AB为圆的直径,利用直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角,进而得到三角形ABC为直角三角形,利用锐角三角函数定义求出sinA的值,利用特殊角的三角函数值求出∠A的度数为60度,再由OA=OC,得到三角形AOC为等边三角形,利用等边三角形的性质得到两个角为60度,进而求出∠BCD为30度,利用三角形内角和定理求出∠OBD为直角,即OB垂直于BD,即可得 证;

(2)由AB为直径,求出半径为2,由BC=BD,利用等边对等角得到一对角相等,再由OC=OB得到一对角相等,等量代换得到∠D=∠OBC,再由一对公共角相等,得到三角形OCB与三角形BCD相似由相似得比例,即可求出CD的长.

试题解析:(1)∵AB为圆O的直径,∴∠ACB=90°,在Rt△ABC中,∵sinA=,∴∠A=60°,∵AO=CO,∴△AOC为等边三角形,∴∠AOC=∠ACO=60°,∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACO=90°﹣60°=30°,∵∠BOD=∠AOC=60°,∴∠OBD=180°﹣(∠BOD+∠D)=90°,∴OB ⊥BD,则BD为圆O的切线;

(2)∵AB为圆O的直径,且AB=4,∴OB=OC=2,∵BC=BD,∴∠BCD=∠D,∵OC=OB,∴∠BCD=∠OBC,∴∠D=∠OBC,在△BCD和△OCB中,∠D=∠OBC,∠BCD=∠OCB,∴△BCD∽△OCB,∴,即,则CD=6.

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