题目内容

如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足b=
a2-4
+
4-a2
+16
a+2
．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点M为直线y=mx在第一象限上一点，且△ABM是等腰直角三角形，求m的值．
（3）如图3过点A的直线y=kx-2k交y轴负半轴于点P，N点的横坐标为-1，过N点的直线y=
k
2
x-
k
2
交AP于点M，给出两个结论：①
PM+PN
NM
的值是不变；②
PM-PN
AM
的值是不变，只有一个结论是正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．
（1）要使b=
a2-4
+
4-a2
+16
a+2
有意义，
必须a2-4≥0，4-a2≥0，a+2≠0，
∴a=2，
代入得：b=4，
∴A（2，0），B（0，4），
设直线AB的解析式是y=kx+b，
代入得：
0=2k+b
4=b
，
解得：k=-2，b=4，
∴函数解析式为：y=-2x+4，
答：直线AB的解析式是y=-2x+4．

（2）如图2，分三种情况：

①如图1，当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥y轴于N，
∵BM⊥BA，MN⊥y轴，OB⊥OA，
∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90°，
∴∠NBM+∠NMB=90°，∠ABO+∠NBM=90°，
∴∠ABO=∠NMB，
在△BMN和△ABO中
∠MNB=∠BOA
∠NMB=∠ABO
BM=AB
，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
MN=OB=4，BN=OA=2，
∴ON=2+4=6，
∴M的坐标为（4，6），
代入y=mx得：m=
3
2
，
②如图2
当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥x轴于N，△BOA≌△ANM（AAS），同理求出M的坐标为（6，2），m=
1
3
，
③如图4，
当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，则△BHM≌△AMN，
∴MN=MH，
设M（x，x）代入y=mx得：x=mx，
∴m=1，
答：m的值是
3
2
或
1
3
或1．

（3）如图3，结论2是正确的且定值为2，
设NM与x轴的交点为H，过M作MG⊥x轴于G，过H作HD⊥x轴，HD交MP于D点，连接ND，
由y=
k
2
x-
k
2
与x轴交于H点，
∴H（1，0），
由y=
k
2
x-
k
2
与y=kx-2k交于M点，
∴M（3，k），
而A（2，0），
∴A为HG的中点，
∴△AMG≌△ADH（ASA），
又因为N点的横坐标为-1，且在y=
k
2
x-
k
2
上，
∴可得N的纵坐标为-k，同理P的纵坐标为-2k，
∴ND平行于x轴且N、D的横坐标分别为-1、1
∴N与D关于y轴对称，
∵△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，
∴PN=PD=AD=AM，
∴
PM-PN
AM
=2．
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函数y=
3
2
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3
4
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1
2
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