题目内容
【题目】如图1,AB为半圆O的直径,D为BA的延长线上一点,DC为半圆O的切线,切点为C.
(1)求证:∠ACD=∠B;
(2)如图2,∠BDC的平分线分别交AC,BC于点E,F;
①求tan∠CFE的值;
②若AC=3,BC=4,求CE的长.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)连接OC,根据切线的性质、直径所对的圆周角是直角及等角的余角相等即可证明结论.
(2)①由∠CEF=∠ECD+∠CDE,∠CFE=∠B+∠FDB,∠CDE=∠FDB,∠ECD=∠B,即可得∠CEF=∠CF,再由∠ECF=90°,可得∠CEF=∠CFE=45°,即可得结论.
②由勾股定理可求得AB=5,根据已知易证△DCA∽△DBC,得,设DC=3k,DB=4k,由CD2=DADB,得9k2=(4k﹣5)4k,由此求出DC,DB,再由△DCE∽△DBF,得,设EC=CF=x,列出方程即可解决问题.
试题解析:(1)证明:如图1中,连接OC.
∵OA=OC,
∴∠1=∠2,
∵CD是⊙O切线,
∴OC⊥CD,
∴∠DCO=90°,
∴∠3+∠2=90°,
∵AB是直径,
∴∠1+∠B=90°,
∴∠3=∠B.
(2)解:①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE,∠CFE=∠B+∠FDB,
∵∠CDE=∠FDB,∠ECD=∠B,
∴∠CEF=∠CFE,∵∠ECF=90°,
∴∠CEF=∠CFE=45°,
∴tan∠CFE=tan45°=1.
②在RT△ABC中,∵AC=3,BC=4,
由勾股定理得AB=5,
∵∠CDA=∠BDC,∠DCA=∠B,
∴△DCA∽△DBC,
∴,设DC=3k,DB=4k,
∵CD2=DADB,
∴9k2=(4k﹣5)4k,
∴k=,
∴CD=,DB=,
∵∠CDE=∠BDF,∠DCE=∠B,
∴△DCE∽△DBF,
∴,设EC=CF=x,
∴,
∴x=.
∴CE=.