题目内容
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB=10，AD=6，DC=8，BC=12，点E在下底边BC上，
点F在AB上．（1）若EF平分直角梯形ABCD的周长，设BE的长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）若线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1：2两部分，将△BEF的面积记为S1，五边形AFECD的面积记为S2，且S1：S2=K求出k的最大值．
分析：（1）由已知，得梯形周长=36，高=8，面积=72．用含x的代数式表示△BEF的面积，只需求FG即可；
（2）根据函数关系式无解，知不存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分．
（3）由已知易知，线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1：2两部分，只能是FB+BE与FA+AD+DC+CE的比是1：2，则有k=S1：S2=
，要使k取最大值，只需S1取最大值，根据S△BEF=
BE•FG=-
x2+
x(8≤x≤12)，求出S1取最大值
．得出k的最大值是
．
（2）根据函数关系式无解，知不存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分．
（3）由已知易知，线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1：2两部分，只能是FB+BE与FA+AD+DC+CE的比是1：2，则有k=S1：S2=
| S1 |
| 72-S1 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 5 |
| 36 |
| 5 |
| 72 |
| 5 |
| 1 |
| 4 |
解答：
解：（1）∵EF平分直角梯形ABCD的周长，BE=x，
x+BF=10-BF+6+8+12-x，
BF=18-x
由已知，得梯形周长=36，高=8，面积=72．
过点F作FG⊥BC于点G，过点A作AK⊥BC于点K，
则△BFG∽△BAK，
=
，
=
，
可得FG=
(18-x）
S△BEF=
BE•FG=-
x2+
x(8≤x≤12)（3分）
（2）不存在．（4分）
由（1）-
x2+
x=36，
整理得：（x-9）2=-9，此方程无解．（5分）
不存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分．
（3）由已知易知，线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1：2两部分，只能是FB+BE与FA+AD+DC+CE的比是1：2．（6分）
k=S1：S2=
要使k取最大值，只需S1取最大值．
与（1）同理，FG=
(12-x)S1=
BE•FG=-
x2+
x(2≤x＜12)，
当x=6时，S1取最大值
．此时k=
∴k的最大值是
．（8分）
解：（1）∵EF平分直角梯形ABCD的周长，BE=x，x+BF=10-BF+6+8+12-x，
BF=18-x
由已知，得梯形周长=36，高=8，面积=72．
过点F作FG⊥BC于点G，过点A作AK⊥BC于点K，
则△BFG∽△BAK，
| BF |
| BA |
| FG |
| AK |
| 18-x |
| 10 |
| FG |
| 8 |
可得FG=
| 4 |
| 5 |
S△BEF=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 5 |
| 36 |
| 5 |
（2）不存在．（4分）
由（1）-
| 2 |
| 5 |
| 36 |
| 5 |
整理得：（x-9）2=-9，此方程无解．（5分）
不存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分．
（3）由已知易知，线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1：2两部分，只能是FB+BE与FA+AD+DC+CE的比是1：2．（6分）
k=S1：S2=
| S1 |
| 72-S1 |
与（1）同理，FG=
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
当x=6时，S1取最大值
| 72 |
| 5 |
| 1 |
| 4 |
∴k的最大值是
| 1 |
| 4 |
点评：本题结合直角梯形的性质考查二次函数的综合应用，注意此题三角形边与面积，梯形周长，高，面积相互间的关系．
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