Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径HF交AC于D，HF、BC的延长线相交于E．

(1)若HF⊥AB，求证：∠OAD＝∠E；

(2)在(1)的条件下，若OD＝1，DE＝3，试求⊙O的半径；

(3)若A是下半圆上一动点，当A运动到什么位置时，△CDE的外心在△CDE的一边上？(只写结论，不用证明)

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连结OB．…………1分 　　∵HF是⊙O直径，HF⊥AB， 　　∴ 　　∴∠AOH＝∠HOB＝∠AOB． 　　∵∠ACB＝∠AOB， 　　∴∠AOH＝∠ACB．……………2分 　　∴∠AOD＝∠DCE， 　　又∠ADO＝∠CDE， 　　∴∠1＝∠E． 　　即∠OAD＝∠E．……………3分 　　(2)解：连结OC，……………4分 　　则∠1＝∠2， 　　∵∠1＝∠E， 　　∴∠2＝∠E． 　　∵∠DOC＝∠COE， 　　∴△OCD∽△OEC……………5分 　　 　　∵OD＝1，DE＝3， 　　∴OC2＝OE·OD＝(1＋3)×1＝4． 　　∴OC＝2，即⊙O的半径为2．……………6分 　　(3)解：①当A运动到使AB是⊙O的直径时，∠ACB＝90°，∴△CDE是直角三角形； 　　②当A运动到使AC⊥HF时，△CDE是直角三角形，综上两种情况下，△CDE的外心在△CDE的一边上．……………8分