Question

【题目】如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣2，0），点B（1，0），交y轴于点C（0，2）.

（1）求二次函数的解析式；

（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上有一点N，过点N作y轴的平行线，交直线AC于点F，设点N的横坐标为n，线段NF的长为l，求l关于n的函数关系式；

（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；（2）l＝﹣n2﹣2n；（3）存在，点M的坐标为（﹣1，0）或（1，0）或（1﹣，0）或（﹣，0）．

【解析】

（1）先根据两点的坐标，可设抛物线的解析式的交点式，再由点C的坐标利用待定系数法求解即可；

（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据点N的横坐标可求出点N与点F的纵坐标，从而根据即可得出答案；

（3）先利用勾股定理求出BC、BM、CM的长，再根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，分别列出等式求解即可．

（1）由两点的坐标，设抛物线的表达式为

将点代入得

解得

故抛物线的表达式为；

（2）设直线AC的表达式为

将代入得

解得

则直线AC的表达式为

由题意设点，则点

因此，，即

故l关于n的函数关系式为；

（3）存在，求解过程如下：

设点，因点，点

则

根据等腰三角形的定义分以下3种情况：

①当时，，解得（此时点M与点B重合，舍去）或

②当时，，解得

③当时，，解得

综上，点M的坐标为或或或．