Question

如图，在△ABO中，OA＝OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C，且与OA交于点E、与OB交于点F，连接CE、CF．

（1）AB与⊙O相切吗，为什么？
（2）若∠AOB＝∠ECF，试判断四边形OECF的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）AB与⊙O相切；（2）菱形

试题分析：（1）连结OC，由OA＝OB，C是边AB的中点根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；
（2）先证得△EOC≌△FOC，即得CE＝CF，∠ECO＝∠FCO，从而可得∠AOB＝2∠EOC，∠ECF＝2∠ECO，再结合∠AOB＝∠ECF可得∠EOC＝∠ECO，即得CE＝OE，从而证得结论.
（1）AB与⊙O相切．连结OC，

∵OA＝OB，C是边AB的中点，
∴OC⊥AB，∠AOC＝∠BOC．
∵OC⊥AB，⊙O过点C
∴AB与⊙O相切于C；
（2）四边形OECF为菱形．在△EOC和△FOC中，
∵OE＝OF，∠AOC＝∠BOC，CO＝CO，
∴△EOC≌△FOC．
∴CE＝CF，∠ECO＝∠FCO．
∵∠AOC＝∠BOC，∠ECO＝∠FCO，
∴∠AOB＝2∠EOC，∠ECF＝2∠ECO．
又∵∠AOB＝∠ECF，
∴∠EOC＝∠ECO，
∴CE＝OE．
∴CE＝OE＝OF＝CF．
∴四边形OECF为菱形．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．