Question

抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为A（m-4，0）和B（m，0），与直线y=-x+p相交于点A和点C（2m-4，m-6）。

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P，Q的坐标；
（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当⊿PQM的面积最大时，请求出⊿PQM的最大面积及点M的坐标。

Answer 1

解：（1）∵点A（m-4，0）和C（2m-4，m-6）在直线y=-x+p上 ∴，解得， ∴A（-1，0）B（3，0），C（2，-3）， 设抛物线y=ax2+bx+c=a（x-3）（x+1）， ∵C（2，-3）， ∴a=1， ∴抛物线解析式为：y=x2-2x-3； （2）AC=3，AC所在直线的解析式为：y=-x-1，∠BAC=45°， ∵平行四边形ACQP的面积为12， ∴平行四边形ACQP中AC边上的高为， 过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，DK=2， ∴DN=4 ∵ACPQ，PQ所在直线在直线ACD的两侧，可能各有一条， ∴PQ的解析式或为y=-x+3或y=-x-5， ∴，解得：， 方程组无解， 即P1（3，0），P2（-2，5）， ∵ACPQ是平行四边形，A（-1，0）C（2，-3）， ∴当P（3，0）时，Q（6，-3）， 当P（-2，5）时，Q（1，2）， ∴满足条件的P，Q点是P1（3，0），Q1（6，-3）或P2（-2，5），Q2（1，2）； （3） 设M（t，t2-2t-3）（-1＜t＜3）， 过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线雨点T，则T（t，-t+3） MT=（-t+3）-（t2-2t-3）=-t2+t+6， 过点M作MS⊥PQ所在直线于点S， MS=MT=（-t2+t+6）=-（t-）2+， ∴当t=时，M（，-），⊿PQM中PQ边上高的最大值为。